153 9.3 Analysis Unter- und Obersummen R Eine Zerlegung Z des Intervalls [a; b] ist ein (n + 1)-Tupel Z = (x0 1 x1 1 x2 1 … 1 xn) mit a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b. Definition Es sei f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion und Z = (x0 , x1 , x2 , …, xn) eine Zerlegung von [a; b]. Die Längen der Teilintervalle [x0 ; x1], [x1 ; x2], …, [xn – 1 ; xn] seien Δ x1 , Δ x2 , …, Δ xn . Zudem seien m1 , m2 , …, mn Minimumstellen von f und M1 , M2 , …, Mn Maximumstellen von f. Dann nennt man • U f (Z) = f (m1 ) · Δ x 1 + f (m2 ) · Δ x 2 +…+f(mn ) · Δ x n die Untersumme von f in [a; b] bei der Zerlegung Z, • O f (Z) = f (M1 ) · Δ x 1 + f (M2 ) · Δ x 2 +…+f(Mn ) · Δ x n die Obersumme von f in [a; b] bei der Zerlegung Z. f x2 x1 m1 m2 m3 M3 M1 M2 a = x0 x3 = b 0 f(x) x Es gilt stets: U f (Z) ª Of (Z) Man kann die einzelnen Summen auch mithilfe des Summenzeichens anschreiben: Uf (Z) = Σ i = 1 n f (mi ) · Δ xi Of (Z) = Σ i = 1 n f (Mi ) · Δ xi Integral R Man kann beweisen: Ist f stetig in [a; b], dann gibt es genau eine reelle Zahl I, sodass U ª I ª O für jede Untersumme U und jede Obersumme O von f in [a; b] gilt (auch dann, wenn diese zu verschiedenen Zerlegungen von [a; b] gehören). Wir sagen kurz: Diese reelle Zahl I liegt zwischen allen Untersummen und allen Obersummen von f in [a; b]. Definition Es sei f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion. Die eindeutig bestimmte reelle Zahl I, die „zwischen“ allen Untersummen U und allen Obersummen O von f in [a; b] liegt (genauer: U ª I ª O), nennt man das Integral von f in [a; b] und schreibt: I = ∫ a b f oder I = ∫ a b f (x) dx Setzt man ∫ a a f=0und∫ a b f=–∫ b a f für b < a, dann ist das Integral auch für b ª a definiert. Sind die reellen Funktionen f, g in den jeweiligen Intervallen stetig und ist c * R, dann gilt: (1) ∫ a b c·f=c·∫ a b f (2) ∫ a b (f+g)=∫ a b f + ∫ a b g (3) ∫ a b f + ∫ b c f = ∫ a c f Je kleiner Δ x ist, desto genauer ist die folgende Näherung des Integrals: Ein Integral ist näherungsweise gleich einer Summe von sehr vielen sehr kleinen Produkten der Form f (x) · Δ x: ∫ a b f (x) dx ≈ Σ f (x) · Δ x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==