154 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung R Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) (1) Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] stetig und ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: ∫ a b f (x) dx = F (x) | a b = F(b) – F(a) (2) Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] bzw. [a; •) stetig, dann ist die Integralfunktion Ia: A ¥ ℝ ‡ x ¦ ∫ a x f eine Stammfunktion von f. Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren R Definition (Unbestimmtes Integral) Ist F eine beliebige Stammfunktion von f, so setzt man ∫ f = ∫ f(x)dx = F(x) + c (mit c * R) und nennt das Symbol ∫ f bzw. ∫ f (x) dx das unbestimmte Integral von f, weil keine Grenzen angegeben sind. Wegen F’ (x) = f (x) und ∫ f (x) dx = F (x) + c kann man sagen: Differenzieren und Integrieren sind Umkehroperationen voneinander (bis auf eine additive Konstante). Anwendungen des Integrals R Inhalt der von f in [a; b] festgelegten Fläche: Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g in [a; b] mit f (x) º g (x): f A (a, b) a b 0 f (x) x A(a,b) = ∫ a b f , falls f (x) º 0 f a b 0 f (x) x A (a, b) = – ∫ a b f, falls f (x) ª 0 f g a b 0 f (x), g (x) x A = ∫ a b (f – g) Weglänge bei der Geschwindigkeit v im Zeitintervall [a; b]: w(a; b) = ∫ a b v (t) dt Arbeit, die die Kraft F längs des Weges von a nach b verrichtet: W(a; b) = ∫ a b F (x) dx Arbeit, die der Leistung P im Zeitintervall [a; b] entspricht: W(a; b) = ∫ a b P (t) dt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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