156 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Kennzahlen einer aufsteigend geordneten Liste von Zahlen R Quartile: q 2 = zweites Quartil = Median der Liste q 1 = erstes Quartil = Median der Zahlen vor q2 q 3 = drittes Quartil = Median der Zahlen nach q2 Quartilsabstand = q3 – q 1 Minimum (min) = kleinstes Element der Liste, Maximum (max) = größtes Element der Liste Spannweite der Liste = max – min Kastenschaubild (Boxplot): BEISPIEL 2 2 3 4 4 6 7 7 9 9 min q 1 = 3 q 2 = 5 q 3 = 7 max Hinsichtlich der Positionen der Quartile in einer aufsteigend geordneten Liste lässt sich sagen: • Die Positionen der drei Quartile zerlegen die Liste in vier annähernd gleich lange Teillisten. • Ca. 25 % (50 %, 75 %) der Daten liegen vor der Position von q 1 (q 2 , q 3 ). • Ca. 75 % (50 %, 25 %) der Daten liegen nach der Position von q 1 (q 2 , q 3 ). • Zwischen den Positionen von q 1 und q3 liegen ca. 50 % aller Daten. Hinsichtlich der Zahlenwerte der Quartile in einer aufsteigend geordneten Liste lässt sich im Allgemeinen sagen: • Mindestens 25 % (50 %, 75 %) der Daten sind ª q 1 (q 2 , q 3 ). • Mindestens 75 % (50 %, 25 %) der Daten sind º q 1 (q 2 , q 3 ). Perzentile einer aufsteigend geordneten Liste von Zahlen R Definition Das p %-Perzentil Pp (mit p = 1, 2, 3, …, 99) einer aufsteigend geordneten Liste x 1 , x 2 , …, xn ist so definiert: • Wenn p % von n gleich dem Index i der Liste ist, dann setzt man P p = x i . • Wenn p % von n zwischen den Indizes i und i + 1 der Liste liegen, setzt man P p = x i + x i + 1 _ 2 . • Ca. p % der Zahlen der Liste sind < P p und ca. (100 – p) % sind > P p . • Das Quartil q 1 (q 2 , q 3 ) ist das 25 %-Perzentil (50 %-Perzentil, 75 %-Perzentil). Streuungsmaße R Definition Es sei x1 , x2 , …, xn eine Liste von reellen Zahlen mit dem Mittelwert ‾x . • empirische Varianz der Liste: s2 = (x 1 – ‾x ) 2 + (x 2 – ‾x ) 2 + … + (x n – ‾x ) 2 _____ n • empirische Standardabweichung der Liste: s = � ____________________ (x 1 – ‾x ) 2 + (x 2 – ‾x ) 2 + … + (x n – ‾x ) 2 _____ n Satz (Verschiebungssatz für die empirische Varianz) s 2 = x 1 2 + x 2 2 +…+x n 2 ___ n – ‾x 2 min q1 q2 q3 max Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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