157 9.4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Kommen die möglichen Werte a1 , a2 , …, ak einer Variablen mit den absoluten Häufigkeiten H1 , H2 , …, Hk bzw. relativen Häufigkeiten h1 , h2 , …, hk vor, gilt für die Varianz: s2 = H 1 · (a 1 – ‾x ) 2 + H 2 · (a 2 – ‾x ) 2 + … + H k · (a k – ‾x ) 2 _______ n = = h 1 · (a 1 – ‾x ) 2 + h 2 · (a 2 – ‾x ) 2 +…+h k · (a k – ‾x ) 2 Der Verschiebungssatz kann so geschrieben werden: s2 = H 1 · a 1 2 + H 2 · a 2 2 + … + H k · a k 2 _____ n – ‾x 2 = h 1 · a 1 2 + h 2 · a 2 2 +…+h k · a k 2 – ‾x 2 Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses R • Ein Zufallsversuch ist ein Vorgang, bei dem mehrere Versuchsausgänge möglich sind, jedoch ungewiss ist, welcher Ausgang eintritt. • Jeder Zufallsversuch kann als zufällige Auswahl eines Elements aus einem Grundraum Ω (Menge aller Versuchsausgänge) aufgefasst werden, wobei kein Element bevorzugt oder benachteiligt wird. Man nimmt zufällige Auswahl an, solange kein Grund vorliegt, etwas anderes anzunehmen. • Ein Zufallsversuch, bei dem jeder Ausgang die gleiche Chance des Eintretens hat, heißt Laplace-Versuch. Bei der Durchführung eines Zufallsversuchs interessiert man sich dafür, ob ein bestimmtes Ereignis eintritt oder nicht (zB beim Würfeln: „Es kommt eine gerade Zahl.“). Ein Ereignis entspricht einer bestimmten Menge von Versuchsausgängen (zB beim Würfeln {2, 4, 6}). Die Wahrscheinlichkeit P (E) ist ein Maß für die Erwartung, dass das Ereignis E eintritt. In der Wahrscheinlichkeitsrechnung werden Methoden angegeben, mit denen man diese Erwartung zahlenmäßig ausdrücken kann, wenn auch mit einer gewissen Unsicherheit: Methode 1: Wahrscheinlichkeit mittels relativen Anteils festlegen Bei einem Zufallsversuch habe jeder der endlich vielen Versuchsausgänge die gleiche Chance des Eintretens. Es sei Ω die Menge aller Versuchsausgänge (also der Grundraum) und M (E) die Menge der Versuchsausgänge, bei denen das Ereignis E eintritt. P (E) = relativer Anteil von M (E) in Ω = | M (E) | _ | Ω | = Anzahl der für E günstigen Ausgänge ______ Anzahl aller möglichen Ausgänge Methode 2: Wahrscheinlichkeit mittels relativer Häufigkeit festlegen Ein Zufallsversuch werde n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt (n groß). Als Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses E kann man (mit einer gewissen Unsicherheit) die relative Häufigkeit von E unter diesen n Versuchen verwenden. P(E) ≈ h n (E) Methode 3: Wahrscheinlichkeit mittels subjektiven Vertrauens festlegen P (E) = Grad des subjektiven Vertrauens in das Eintreten von E Bei allen Methoden wird P (E) so festgelegt, dass 0ªP(E)ª1 gilt. Grenzfälle sind unmögliche Ereignisse mit P (E) = 0 und sichere Ereignisse mit P (E) = 1. Unmögliche Ereignisse treten bei keiner Versuchsdurchführung ein, sichere Ereignisse bei jeder Versuchsdurchführung. Baumdiagramme R Ein aus mehreren Teilversuchen bestehender Zufallsversuch kann durch ein Baumdiagramm übersichtlich dargestellt werden. Zur Vereinfachung kann man Versuchsausgänge zusammenfassen (zB beim Würfeln 6 und ¬6). 6 ¬ 6 6 ¬ 6 6 ¬ 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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