159 9.4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Mit wachsendem n nähern sich die relativen Häufigkeiten h n (a i ) den Wahrscheinlichkeiten pi und somit nähern sich die relativen Häufigkeitsverteilungen von X der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Dabei zeigt die Erfahrung: Empirisches Gesetz der großen Zahlen Wird eine Versuchsserie zu je n Teilversuchen mehrfach durchgeführt und ist n groß, so weichen die einzelnen relativen Häufigkeitsverteilungen nur wenig voneinander ab und schwanken um die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Erwartungswert und Varianz einer diskreten Zufallsvariablen R Sei X eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten a 1 , a 2 , …, ak . Mit zunehmender Anzahl der Versuchsdurchführungen nähern sich die relativen Häufigkeiten h (a 1 ), h (a 2 ), …, h (a k ) den Wahrscheinlichkeiten p1 , p 2 , …, pk der möglichen Werte von X. Damit nähern sich der Mittelwert ‾x und die empirische Varianz s 2 den folgenden Werten μ und σ 2: ‾x = a1 · hn (a1) + … + ak · hn (ak) s 2 = (a 1 – ‾x ) 2 · h n (a1) + … + (ak – ‾x ) 2 · h n (ak) μ = a1 · p1 + … + ak · pk σ 2 = (a 1 – μ) 2 · p 1 + … + (ak – μ) 2 · p k Definition Es sei X eine Zufallsvariable mit den Werten a1 , a2 , …, ak , die jeweils mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , …, pk angenommen werden. Dann nennt man • μ = E (X) = a1 · p1 + a2 · p2 + … + ak · pk den Erwartungswert von X, • σ 2 = V (X) = (a 1 – μ) 2 · p 1 + (a2 – μ) 2 · p 2 + … + (ak – μ) 2 · p k die Varianz von X, • σ = � _ V (X) die Standardabweichung von X. Der Erwartungswert, die Varianz bzw. die Standardabweichung einer Zufallsvariablen X ist näherungsweise gleich dem Mittelwert, der empirischen Varianz bzw. der empirischen Standardabweichung der erhaltenen Werte von X bei häufiger Versuchsdurchführung. Satz (Verschiebungssatz für die Varianz): σ 2 = a 1 2 · p 1 + a 2 2 · p 2 +…+a k 2 · p k – μ 2 Datenveränderungen R Satz Für zwei Zahlenlisten x 1 , x 2 , …, xn und y1 , y 2 , …, yn gilt: • Ist y i = x i + c für i = 1, 2, …, n, dann ist ‾y = ‾x + c und s y = s x . • Ist y i =c·xi für i = 1, 2, …, n, dann ist ‾y = c · ‾x und s y =c·sx . Entsprechungen: Beschreibende Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung R Begriff der beschreibenden Statistik Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung Variable (Merkmal) Zufallsvariable relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit relative Häufigkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung Mittelwert Erwartungswert empirische Varianz Varianz empirische Standardabweichung Standardabweichung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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