16 1 Stammfunktion und Integral 1.3 Approximation des Integrals durch Summen Zwischensummen R Bei der Bildung einer Unter- bzw. Obersumme haben wir in jedem Teilintervall [x i – 1 ; x i ] (mit i = 1, 2, 3, …, n) eine Minimumstelle mi bzw. eine Maximumstelle Mi von f betrachtet. Man kann jedoch stattdessen in jedem Teilintervall eine beliebige Stelle ‾x i wählen und folgende Summe bilden: S = f (‾x 1) · Δ x 1 + f (‾x 2) · Δ x 2 + … f (‾x n) · Δ x n = Σ i = 1 n f (‾x i) · Δ x i Eine solche Summe wird oft als Zwischensumme bezeichnet. Nebenstehend ist ein Beispiel gezeichnet. Unter- und Obersummen sind Sonderfälle von Zwischensummen (nämlich solche, bei denen ‾x i jeweils eine Minimum- bzw. Maximumstelle von f im Teilintervall [xi – 1 ; x i ] ist). Gehören eine Untersumme U, eine Obersumme O und eine Zwischensumme S zur gleichen Zerlegung Z von [a; b], dann gilt: U ª S ª O (siehe Aufgabe 1.22) Da Unter- und Obersummen Näherungswerte für das Integral sind, sind auch Zwischensummen Näherungswerte für das Integral. Für eine Zwischensumme schreibt man oft kurz: S = Σ f (x) · Δ x. Für ein Integral gilt also die leicht einprägsame Beziehung: ∫ a b f (x) dx ≈ Σ f (x) · Δ x Merke Ein Integral ∫ a b f (x) dx ist näherungsweise gleich einer Summe von sehr vielen sehr kleinen Produkten der Form f (x) · Δ x. Kurz: ∫ a b f(x)dx ≈ Σ f (x) · Δ x 1.22 Sei f eine stetige reelle Funktion, die im Intervall [a; b] nur nichtnegative Werte annimmt. Beweise, dass für eine Untersumme U, eine Zwischensumme S und eine Obersumme O, die zur gleichen Zerlegung Z von [a; b] gehören, gilt: U ª S ª O. HINWEIS Benutze die Definitionen von U, O und S sowie f (mi) ª f (‾x i) ª f (Mi)! 1.23 Gegeben sei die Funktion f mit f (x) = 1 + 1 _ 2 x 2 und die Zerlegung Z = (0 1 1 1 2 1 3 1 4) des Intervalls [0; 4]. 1) Berechne die Untersumme U und die Obersumme O von f in [0; 4] bezüglich Z! 2) Berechne die Zwischensumme S, wobei in jedem Teilintervall der Mittelpunkt als Zwischenstelle genommen wird! Überprüfe die Beziehung U ª S ª O! f O S U x 2 x 1 x 3 x 4 _ _ _ _ x 2 x 1 x 0 x 3 x 4 a b 0 2. A. 1. A. AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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