160 9 KOMPENDIUM FÜR DIE REIFEPRÜFUNG Binomialverteilung R Satz Ein Zufallsversuch werde n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Tritt dabei ein Ereignis E jedes Mal mit der Wahrscheinlichkeit p ein, dann gilt für die absolute Häufigkeit H des Eintretens von E: P(H=k)=( n k ) · p k · (1 – p)n – k (für 0 ª k ª n) • Durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion k ¦ P (H = k) wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festgelegt, die man als Binomialverteilung mit den Parametern n und p bezeichnet. Die Zufallsvariable H heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p. • P (H = k), P (H ª k) bzw. P (H º k) kann auf verschiedene Arten berechnet werden: • m ithilfe der oben angegebenen Formel für P (H = k), • m it Technologieeinsatz. Satz Ist H eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p, dann gilt für den Erwartungswert und die Varianz von H: μ =E(H)=n·p, σ 2 = V (H) = n · p · (1 – p) Stetige Zufallsvariablen und ihre Verteilungen R Eine stetige Zufallsvariable X kann alle Werte in einem Intervall annehmen (das auch ganz ℝ sein kann). Wahrscheinlichkeiten von X können durch eine Funktion f beschrieben werden, die man Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz Dichtefunktion von X nennt. Diese hat folgende Eigenschaften: x P (X ª x) = F (x) f (1) f (x) º 0 für alle x * ℝ (2) ∫ – • • f (x) dx = 1 (3) P (X ª x) = ∫ – • x f (t) dt für alle x * ℝ Die Funktion F: x ¦ P(X ª x) heißt Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. • Erwartungswert von X: μ = E(X) = ∫ – • • x · f (x) dx • Varianz von X: σ 2 =V(X)=∫ – • • (x – μ) · f (x) dx • Standardabweichung von X: σ = � _ V (X) Normalverteilung R Eine Normalverteilung mit den Parametern μ und σ wird durch folgende Dichtefunktion f beschrieben: Dichtefunktion einer Normalverteilung: f (x) = 1 _ σ � _ 2 π · e – 1 _ 2 · ( x – μ _ σ ) 2 (für x * R und σ > 0) μ μ – σ μ + σ x f W1 W 2 H • Die zugrunde liegende Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ. • Der Graph von f wird als Gauß’sche Glockenkurve bezeichnet. • Die Zahl μ ist der Erwartungswert von X, die Zahl σ ist die Standardabweichung von X. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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