161 9.4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariablen R Sei f die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der stetigen Zufallsvariablen X und F: x ¦ P (X ª x) die Verteilungsfunktion von X, dann gilt für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten: Satz Ist die Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ, dann ist (1) P(X ª x) = F(x) (2) P (Xºx)=1–F(x) (3) P (x 1 ª X ª x 2 ) = F (x 2) – F (x 1) x f x f x 2 x 1 f (4) P (μ – c ª X ª μ +c)=2·F(μ + c) – 1 (5) P (X ª μ – c = X º μ + c) = 2 · (1 – F (μ + c)) μ – c μ + c f μ μ – c μ + c f μ Bestimmt man durch einen Zufallsversuch sehr oft den Wert einer normalverteilten Zufallsvariablen X, dann liegen von den erhaltenen Werten ca. 68,3 % ca. 95,4 % ca. 99,7% (also praktisch alle) im Intervall [ μ – σ; μ + σ ] im Intervall [ μ – 2 σ; μ + 2 σ ] im Intervall [ μ – 3 σ; μ + 3 σ ] ca. 68,3 % x μ μ + σ μ – σ ca. 95,4 % x μ μ + 2σ μ – 2σ ca. 99,7 % x μ μ + 3σ μ – 3σ Satz (σ-Regeln) Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ, dann gilt: (1) P (μ – σ ª X ª μ + σ) ≈ 0,683 = 68,3 % (2) P (μ – 2 · σ ª X ª μ + 2 · σ) ≈ 0,954 = 95,4 % (3) P (μ – 3 · σ ª X ª μ + 3 · σ) ≈ 0,997 = 99,7 % Quantile R Sei X eine stetige Zufallsvariable mit der Verteilungsfunktion F und sei p * R mit 0 < p < 1. Dann versteht man unter dem p-Quantil von X jene Zahl x p, für die gilt: F (x p) = P (X ª x p) = p Dh.: Die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner oder gleich dem p-Quantil xp ist, beträgt p. Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass X größer als x p ist, 1 – p. Wie grafisch veranschaulicht, teilt das p-Quantil x p die Fläche unter der Dichtefunktion f von X in zwei Flächen, deren Inhalte sich wie p : (1 – p) verhalten. f xp x F(xp) = p 1 – p μ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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