169 10.30 Rationale und irrationale Zahlen Eine reelle Zahl, die in der Form z _ n mit z * ℤ und n * ℕ* dargestellt werden kann, heißt rational. Die übrigen reellen Zahlen heißen irrational. AUFGABENSTELLUNG a) 1) Begründen Sie, dass zwischen zwei rationalen Zahlen mindestens eine weitere rationale Zahl liegt! 2) Geben Sie mindestens einen Grund an, warum irrationale Zahlen in der Mathematik notwendig sind! b) 1) Zeigen Sie: Die Summe zweier rationaler Zahlen ist stets rational. 2) Zeigen Sie: Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist stets irrational. c) 1) Jemand behauptet: Wenn a und b irrational sind, dann ist auch a · b irrational. Begründen Sie diese Behauptung oder widerlegen Sie diese durch ein Gegenbeispiel! 2) Jemand behauptet: Wenn a und b irrational sind, dann ist auch a + b irrational. Begründen Sie diese Behauptung oder widerlegen Sie diese durch ein Gegenbeispiel! d) Zeigen Sie anhand von Beispielen: 1) Das Quadrat einer irrationalen Zahl kann rational sein. 2) Die Wurzel aus einer rationalen Zahl kann irrational sein. 10.31 Lineare Gleichungssysteme Gegeben ist das Gleichungssystem: { 2x–3y=2 4x– y=9 AUFGABENSTELLUNG a) 1) Geben Sie die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems in ℕ 2 an! 2) Geben Sie die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems in ℝ 2 an! b) 1) Ändern Sie den Koeffizienten von y in der zweiten Gleichung so ab, dass das neue Gleichungssystem keine Lösung in ℝ 2 hat! 2) Ändern Sie in der zweiten Gleichung den Koeffizienten von x und die rechte Seite der Gleichung so ab, dass das neue Gleichungssystem unendlich viele Lösungen in ℝ 2 hat! 10.32 Zwei quadratische Gleichungen Die Gleichung a x2 – 24 x + 9 = 0 (mit a ≠ 0) besitzt genau eine reelle Lösung. Diese Lösung ist auch Lösung der Gleichung 12x2 +bx+12=0. AUFGABENSTELLUNG a) 1) Ermitteln Sie a und b! 2) Geben Sie alle Lösungen der beiden Gleichungen an! b) 1) Kreuzen Sie die beiden auf die Gleichung a x 2 – 24 x + 9 = 0 zutreffenden Aussagen an! [2 aus 5] Die Gleichung hat für 0 < a < 16 genau zwei Lösungen in ℝ. Die Gleichung hat für a = 16 genau eine Lösung in ℝ. Die Gleichung hat für alle a * ℝ* die Lösung x = 0. Die Gleichung hat für a < 0 keine Lösung in ℝ. Die Gleichung hat für alle a * ℝ* mindestens eine Lösung in ℝ. 2) Wählen Sie für die beiden gegebenen quadratischen Gleichungen a = 7 und b = –40 und stellen Sie eine Gleichung vom Grad 3 auf, die als Lösungen genau die Lösungen der beiden quadratischen Gleichungen hat! Aufgaben vom Typ 2 AG-R 1.1 AG-R 2.1 AG-R 1.1 AG-R 2.5 AG-R 1.1 AG-R 2.2 AG-R 2.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==