18 1 Stammfunktion und Integral 1.4 Berechnen von Integralen Berechnung mit Stammfunktionen R Bisher konnten wir Integrale nur näherungsweise mithilfe von Ober-, Unter- oder Zwischensummen berechnen. In diesem Abschnitt lernen wir eine bequemere Methode kennen, die häufig anwendbar ist. Satz Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] stetig und ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: ∫ a b f (x) dx = F(b) – F(a) BEGRÜNDUNG Wir betrachten eine Zerlegung Z = (x 0 ‡ x 1 ‡ x 2 ‡ … ‡ x n) des Intervalls [a; b] und setzen Δ F i = F (x i + 1) – F (x i). In der Abbildung ist dies für eine streng monoton steigende Stammfunktion F veranschaulicht, die folgenden Überlegungen gelten aber auch, wenn F nicht monoton ist. Wir gehen in mehreren Schritten vor: 1. SCHRITT: Die Steigung von F in einem Teilungspunkt xi beträgt: F’(xi) ≈ Δ F i _ Δ x i Daraus folgt: Δ F i ≈ F’ (x i) · Δ x i = f (x i) · Δ x i 2. SCHRITT: Es gilt: F (b) – F (a) = Σ i = 1 n Δ F i ≈ Σ i = 1 n f (x i) · Δ x i 3. SCHRITT: Diese Näherung wird im Allgemeinen umso genauer, je kleiner die Längen Δ x i sind. Wenn die „Feinheit“ der Zerlegung (dh. die Länge des größten Teilintervalls) gegen 0 strebt, ergibt sich: F (b) – F (a) = ∫ a b f (x) dx 1.24 Berechne: ∫ 1 3 x2 dx LÖSUNG Eine Stammfunktion der Funktion f mit f (x) = x2 ist die Funktion F mit F (x) = x 3 _ 3 . Damit ergibt sich nach dem obigen Satz: ∫ 1 3 x 2 dx= F (3) – F (1) = 3 3 _ 3 – 1 3 _ 3 = 27 _ 3 – 1 _ 3 = 26 _ 3 Zur Abkürzung verwendet man folgende Schreibweise: F (x) | a b = [F (x)] a b = F(b) – F(a) Unter Verwendung dieser Schreibweisen sieht die Berechnung des Integrals in der letzten Aufgabe so aus: ∫ 1 3 x2 dx = x 3 _ 3 | 1 3 = 3 3 _ 3 – 1 3 _ 3 = 27 _ 3 – 1 _ 3 = 26 _ 3 oder ∫ 1 3 x 2 dx = [ x 3 _ 3 ] 1 3 = 3 3 _ 3 – 1 3 _ 3 = 27 _ 3 – 1 _ 3 = 26 _ 3 Integrale können auch mit Technologieeinsatz berechnet werden (siehe Seite 22). a x n – 1 x 1 x 2 x 0 x n b 0 F (x) x F Δ F 1 Δ x 1 Δ x 1 Δ x 2 Δ F 2 Δ F n Δ x n Δ x n Δ x 2 F (a) F (b) F (b) – F (a) kompakt S. 22 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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