191 11.53 Hängebrücke Eine Hängebrücke führt über eine Schlucht. Der stählerne Brückenbogen trägt zwei übereinanderliegende, an Stahlseilen hängende Fahrbahnen, eine für Züge und eine für Autos. Der Brückenbogen kann durch eine Polynomfunktion vom Grad 2 beschrieben werden, wobei gilt: • Der Abstand der beiden Aufhängepunkte A und B beträgt 50m. • Der höchste Punkt des Brückenbogens liegt 30 m über der horizontalen Verbindungsstrecke der Punkte A und B. • Das längste Halteseil, das die Zugfahrbahn trägt, hat eine Länge von 19,2 m. • Die Länge der Autofahrbahn innerhalb des Brückenbogens (von E bis F) beträgt 30m. A B D F C E AUFGABENSTELLUNG a) 1) Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie eine Termdarstellung der Funktion f an, die den Brückenbogen beschreibt! 2) Geben Sie die Koordinaten des höchsten Punktes des Brückenbogens in diesem Koordinatensystem an! b) 1) Berechnen Sie die Länge der Zugfahrbahn innerhalb des Brückenbogens (von C bis D)! 2) Ermitteln Sie den vertikalen Abstand der Autofahrbahn von der Zugfahrbahn! 11.54 Polynomfunktionen vom Grad 2 Wir betrachten Polynomfunktionen vom Grad 2. AUFGABENSTELLUNG a) 1) Geben Sie an, wie man die Graphen solcher Funktionen nennt! 2) Geben Sie an, wie viele Nullstellen eine solche Funktion höchstens haben kann! b) 1) Ermitteln Sie, für welche Werte a * ℝ die Funktion f mit f (x) = x 2 – 3 a x + 18 genau zwei Nullstellen, genau eine Nullstelle bzw. keine Nullstelle besitzt! 2) Geben Sie jeweils eine Bedingung so an, dass die Funktion g mit g (x) = x 2 + a x + b genau zwei Nullstellen, genau eine Nullstelle bzw. keine Nullstelle besitzt! 11.55 Exponentialfunktionen Gegeben ist eine Exponentialfunktion f der Form f (x) = a x (mit a > 0). AUFGABENSTELLUNG a) 1) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für alle x * ℝ gilt: f (x + 1) = a · f (x). 2) Prüfen Sie, welche der folgenden Beziehungen für alle x, y * ℝ gelten! Beweisen Sie die geltenden Beziehungen und widerlegen Sie die übrigen durch Gegenbeispiele! (1) f (x + y) = f (x) + f (y) (3) f (x + y) = f (x) · f (y) (2) f (x · y) = f (x) · f (y) (4) f (x · y) = f (x) + f (y) b) 1) Geben Sie an, welcher Zusammenhang zwischen dem Graphen von g: x ¦ ( 1 _ a ) x und dem Graphen von f besteht! Begründen Sie Ihre Aussage durch Rechnung! 2) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Graphen von g und f! FA-R 1.4 FA-R 1.6 FA-R 3.1 REDUZIERTER KONTEXT AG-R 2.3 FA-R 3.1 FA-R 4.4 AG-R 2.1 FA-R 1.6 FA-R 5.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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