20 1 Stammfunktion und Integral 1.5 Sätze über Integrale Grundlegende Sätze R Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass jede stetige Funktion eine Stammfunktion besitzt. Dass dies zutrifft, werden wir im Kapitel 3 genauer begründen. Satz Die reelle Funktion f sei im Intervall [a; b] stetig und es sei c * R. Dann gilt: ∫ a b c · f = c · ∫ a b f BEWEIS Ist F eine Stammfunktion von f, dann ist c · F eine Stammfunktion von c · f. Damit gilt: ∫ a b c·f=(c·F)(b)–(c·F)(a)=c·F(b)–c·F(a)=c·[F(b)–F(a)]=c·∫ a b f Satz Die reellen Funktionen f und g seien im Intervall [a; b] stetig. Dann gilt: ∫ a b (f + g) = ∫ a b f + ∫ a b g BEWEIS Sind F und G Stammfunktionen von f bzw. g, dann ist F + G eine Stammfunktion von f + g. Damit gilt: ∫ a b (f + g) = (F + G)(b) – (F + G)(a) = [F(b) + G(b)] – [F(a) + G(a)] = = [F(b) – F(a)] + [G(b) – G(a)] = ∫ a b f + ∫ a b g Satz Die reelle Funktion f sei im Intervall [a; c] stetig und es sei a < b < c. Dann gilt: ∫ a b f + ∫ b c f = ∫ a c f BEWEIS Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt: ∫ a b f + ∫ b c f = [F(b) – F(a)] + [F(c) – F(b)] = F(c) – F(a) = ∫ a c f Dieser Satz ist anschaulich einleuchtend, wenn man die Integrale wie in der Abbildung als Flächeninhalte deutet. 1.33 Die Funktionen f und g seien im Intervall [a; b] stetig und es seien c, d * R. Beweise: a) ∫ a b (–f) = – ∫ a b f b) ∫ a b (c·f+d·g)=c·∫ a b f+d·∫ a b g c) ∫ a b (c·f–d·g)=c·∫ a b f–d·∫ a b g b a c f AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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