209 12.41 Freier Fall Für einen frei fallenden Körper ist eine Zeit-Ort-Funktion s durch s (t) = g _ 2 · t 2 gegeben (t in Sekunden, s (t) in Meter). Dabei ist g ≈ 10 m/s 2 die Erdbeschleunigung. AUFGABENSTELLUNG a) 1) Ermitteln Sie die Länge des Weges, der in den ersten fünf Sekunden zurückgelegt wird! 2) Ermitteln Sie, wie lang der Körper für die ersten 30 Meter braucht! b) 1) Geben Sie an, was man unter der mittleren Geschwindigkeit im Zeitintervall [t1; t2] versteht! 2) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit des Körpers im Zeitintervall [3; 5]! c) 1) Geben Sie an, was man unter der Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t versteht! 2) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t = 3! 12.42 Flächeninhalte 1 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f (x) = 2x3 – 4x2. AUFGABENSTELLUNG a) 1) Ermitteln Sie die Nullstellen von f! 2) Zeichnen Sie den Graphen von f für –1 ª x ª 2,5! b) 1) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse zwischen den beiden Nullstellen einschließt! 2) Prüfen Sie, ob dieser Flächeninhalt mit dem Integral von f zwischen den beiden Nullstellen gleichzusetzen ist! Begründen Sie die Entscheidung! 12.43 Flächeninhalte 2 Das Rechteck und der gebogene Streifen mit der an jeder Stelle gleichen Breite z in den Abbildungen haben denselben Flächeninhalt A1 = A2 . 1. A. 1. A. 2. A. 2. A. 0 z a b 0 z f g a b A1 A2 AUFGABENSTELLUNG a) 1) Geben Sie eine Formel für A1 mithilfe von a, b und z an! 2) Begründen Sie zeichnerisch, dass sich die Fläche des gebogenen Streifens in ein Rechteck überführen lässt! b) 1) Zeigen Sie durch Approximation mittels Rechtecksflächen (wie Leibniz), dass A1 = A2 ! 2) Beschreiben Sie A2 als Integral mithilfe der Funktionen f und g! 12.44 Heben eines Seils Ein a Meter langes Seil liegt aufgerollt auf dem Boden. Seine Masse pro Längeneinheit sei λ (kg/m). Ein Seilstück der Länge x wird angehoben. Dabei muss die Kraft F (x) aufgewendet werden. a) 1) Geben Sie eine Formel für das Gewicht des angehobenen Seilstückes an! (HINWEIS Gewicht = Masse mal Erdbeschleunigung = m · g, wobei g die Erdbeschleunigung in m/s 2 ist) F (x) x 2) Geben Sie eine Formel für das Gewicht des gesamten Seils an! b) 1) Begründen Sie: Um das Seil am einen Ende so hoch zu heben, dass das andere Ende gerade den Boden berührt, muss die Arbeit W = λ · g · a 2 _ 2 verrichtet werden. 2) Begründen Sie, dass die Masse des gesamten Seils λ · a ist! AG-R 2.1 AG-R 2.3 FA-R 1.4 AN-R 1.3 AN-R 2.1 AG-R 2.3 FA-R 1.4 AN-R 4.2 AN-R 4.3 AG-R 2.1 AN-R 4.1 AN-R 4.3 AG-R 2.1 AN-R 4.2 AN-R 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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