21 1.5 Sätze über Integrale 1.34 Berechne möglichst geschickt: a) ∫ 0 π _ 2 sinxdx + ∫ π _ 2 π sin x dx b) ∫ 0 1 e x dx + ∫ 1 2 e x dx c) ∫ 1 e (2 x + 2 _ x ) dx + ∫ e 2 e (2 x + 2 _ x ) dx 1.35 Berechne möglichst geschickt: a) ∫ 0 1 2(x –1)dx + ∫ 0 1 (x – 1)dx – ∫ 0 1 x – 1 _ 2 dx c) ∫ 0 π _ 4 (sin x + cos x) dx + ∫ 0 π _ 4 sinxdx – ∫ 0 π _ 4 cos x dx b) ∫ 1 4 3 · 2x – 1 dx – ∫ 1 4 2 x – 1 dx – ∫ 1 4 2 x dx d) ∫ 1 e 1 _ x dx + ∫ 1 e 2 _ x dx + ∫ 1 e 3 _ x dx + ∫ 1 e 4 _ x dx 1.36 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F einer Polynomfunktion f. Weiters ist die Funktion g: R ¥ R mit g (x) = f (x) + 3 gegeben. Ergänze! a) ∫ 2 4 f (x) dx = c) ∫ 4 6 g (x) dx = b) f (0) = d) g (4) = Integranden der Form f (k · x) R Satz Besitzt die Funktion x ¦ f (x) eine Stammfunktion x ¦ F (x), dann besitzt die Funktion x ¦ f (k · x) (mit k ≠ 0) die Stammfunktion x ¦ 1 _ k · F (k · x). BEWEIS G(x) = 1 _ k ·F(k·x) w G’(x) = 1 _ k ·F’(k·x)= 1 _ k ·k·f(k·x)=f(k·x) BEISPIEL ∫ 0 π _ 2 sin (2 x) dx= 1 _ 2 · [– cos (2 x)] | 0 π _ 2 = 1 _ 2 · (– cos π + cos0) = 1 _ 2 ·(1+1)=1 1.37 Berechne: a) ∫ 0 π cos (3 t) dt b) ∫ 0 π sin ( 1 _ 2 t) dt c) ∫ π _ 2 π sin (2 t) dt d) ∫ 0 2 π cos ( 1 _ 4 t) dt 1.38 Berechne: a) ∫ 0 4 e 2 x dx b) ∫ 0 8 5·e– x dx c) ∫ 0 1 3 2 x dx d) ∫ – 1 1 3·2– x dx 1.39 Für welche a mit 0 ª a ª 2 π gilt: a) ∫ 0 a sin (2 x) = 1 _ 2 b) ∫ 0 a cos x _ 2 = 2 c) ∫ 0 2 a sin x _ 2 = 2 x F –2 2 4 6 2 4 O F(x) –2 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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