212 12 Reifeprüfung: Analysis 12.51 Verschiedene Funktionstypen Die folgenden Graphen stellen drei Funktionen f, g und h dar, wobei f eine Polynomfunktion der Form x ¦ a · x2 + b, g eine Exponentialfunktion der Form x ¦ c · ax und h eine Wurzelfunktion der Form x ¦ n � _ x darstellt. x 4 8 12 16 1 2 3 4 0 x 4 8 12 16 1 2 3 4 0 x 4 8 12 16 1 2 3 4 0 AUFGABENSTELLUNG a) 1) Beschriften Sie jeweils den Graphen mit f, g bzw. h und die 2. Achse mit f (x), g (x) bzw. h (x)! 2) Beschreiben Sie für jede der drei Funktionen den Verlauf der momentanen Änderungsrate in Worten und begründen Sie, dass diese Änderungsrate in ℝ + niemals kleiner als 0 werden kann! b) 1) Geben Sie an, wie die Ausdrücke ∫ 0 16 f (x) dx, g’ (16) und h (16) – h (0) _ 16 geometrisch interpretiert werden können! 2) Berechnen Sie für jede der Funktionen f, g und h den Inhalt der in [0; 16] festgelegten Fläche! 12.52 Wasserstrahl in einem Brunnen Über dem Rand eines b Meter breiten Brunnenbeckens ist in d Meter Höhe ein Rohr angebracht, aus dem ein Wasserstrahl horizontal mit der Geschwindigkeit v (in m/s) austritt. Der Wasserstrahl trifft in der Horizontalentfernung w auf die Wasseroberfläche des Beckens auf. Für die Höhe h (x) des Wasserstrahls in der Horizontalentfernung x gilt ungefähr: h (x) = – 5 _ v 2 · x 2 + d (0 ª x ª w) d x h (x) w b 0 AUFGABENSTELLUNG a) 1) Es ist b = 1,79 m und d = 1 m. Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit der Wasserstrahl höchstens aus dem Rohr austreten darf, damit er nicht über den Beckenrand hinauskommt! 2) Es ist b = 1,75 m und v = 3,5 m/s. Berechnen Sie, wie hoch das Rohr höchstens angebracht werden darf, damit der Wasserstrahl noch auf der Wasseroberfläche auftrifft! b) 1) Es sind w = 1,8 m und v = 3 m/s fest vorgegeben. Ermitteln Sie das Maß des Winkels, den der Wasserstrahl mit der horizontalen Wasseroberfläche bildet, wenn er gerade auf die Wasseroberfläche auftrifft! 2) Zeigen Sie, dass allgemein gilt: Der Wasserstrahl befindet sich in drei Viertel der Rohrhöhe d, wenn er die halbe Horizontalentfernung w zurückgelegt hat. c) 1) Prüfen Sie, ob w bei konstantem d zu v direkt proportional ist! Begründen Sie die Entscheidung! 2) Prüfen Sie, ob w bei konstantem v zu d direkt proportional ist! Begründen Sie die Entscheidung! FA-R 1.2 AN-R 1.3 AN-R 2.1 AN-R 4.2 AN-R 4.3 AG-R 2.1 AG-R 2.2 AG-R 2.3 FA-R 1.4 FA-R 2.6 AN-R 1.3 AN-R 2.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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