213 12.53 Zwei Funktionen Gegeben sind die reellen Funktionen f mit f (x)=6x–x2 und g mit g (x) = x 2 – 2 x. AUFGABENSTELLUNG a) 1) Ermitteln Sie die Nullstellen von f bzw. g! 2) Ermitteln Sie die lokalen Extremstellen von f bzw. g! b) 1) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von f und g! 2) Ermitteln Sie den Inhalt des zwischen den beiden Graphen liegenden Flächenstückes! 12.54 Kosten, Erlös und Gewinn Ein Hersteller erzeugt und verkauft monatlich x Mengeneinheiten (ME) eines Produkts. Dabei ergeben sich die Kosten K (x), der Erlös E (x) und der Gewinn G (x). Die zugehörigen Funktionen sind in der Abbildung dargestellt. 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 0 x (in ME) Euro AUFGABENSTELLUNG a) 1) Beschriften Sie die Graphen mit K, E bzw. G! 2) Ermitteln Sie die Fixkosten sowie die Produktionskosten für jedes zusätzlich produzierte Stück und geben Sie eine Termdarstellung der Kostenfunktion K an! b) 1) Die Erlösfunktion E ist eine Polynomfunktion vom Grad 2. Geben Sie eine Termdarstellung dieser Funktion an und deuten Sie die Stelle x, für die E’ (x) = 0 gilt, im Kontext! 2) Geben Sie eine Termdarstellung der Gewinnfunktion G an und berechnen Sie, für welche monatlichen Produktionsmengen der Hersteller einen positiven Gewinn erzielt! 12.55 Eigenschaften einer Funktion Gegeben ist die Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f (x)=k·(e–e– x) (mit k * ℝ + ). AUFGABENSTELLUNG a) 1) Begründen Sie, dass f streng monoton steigend in ℝ ist! 2) Begründen Sie, dass f linksgekrümmt in ℝ ist! b) 1) Der Graph von f schließt mit den beiden Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Berechnen Sie dessen Inhalt für k = 1! 2) Ermitteln Sie k so, dass f (0) = 10 6 ist! c) 1) Geben Sie jenen Wert an, dem sich f (x) unbegrenzt nähert, wenn x unbegrenzt wächst! 2) f (a) soll um 50 % größer als f (0) sein. Ermitteln Sie a und zeigen Sie, dass a von k unabhängig ist! AG-R 2.2 AG-R 2.3 FA-R 1.6 AN-R 2.1 AN-R 4.2 AN-R 4.3 AG-R 2.3 FA-R 1.6 FA-R 1.7 FA-R 2.1 FA-R 2.2 AN-R 3.3 AG-R 2.1 AG-R 2.2 FA-R 1.5 AN-R 2.1 AN-R 3.3 AN-R 4.2 AN-R 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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