215 12.58 Polynomfunktion 2 Gegeben ist die Polynomfunktion f: ℝ ¥ ℝ ‡ x ¦ x 3 – 3 x. AUFGABENSTELLUNG a) 1) Zeichnen Sie den Graphen von f und ermitteln Sie dessen Hoch- und Tiefpunkte! 2) Prüfen Sie, ob f globale Extremstellen besitzt! Begründen Sie die Entscheidung! b) 1) Ermitteln Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten von f! 2) Beweisen Sie: Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs, aber nicht symmetrisch bezüglich der 2. Achse. c) 1) Geben Sie eine Termdarstellung einer Funktion g an, deren Graph symmetrisch bezüglich der 2. Achse, aber nicht symmetrisch bezüglich des Ursprungs ist! Beweisen Sie diese Eigenschaften von g! 2) Geben Sie eine Termdarstellung einer Funktion h an, deren Graph sowohl symmetrisch bezüglich des Ursprungs als auch symmetrisch bezüglich der 2. Achse ist! 12.59 Polynomfunktionen verschiedener Grade Jeder Polynomfunktion kann man einen Grad zuschreiben. AUFGABENSTELLUNG a) 1) Geben Sie eine Termdarstellung einer Polynomfunktion vom Grad n an! 2) Geben Sie die größtmögliche Anzahl der Nullstellen, lokalen Extremstellen bzw. Wendestellen einer solchen Funktion an! b) 1) Geben Sie eine Termdarstellung einer Polynomfunktion f vom Grad 2 an, deren Scheitel im Ursprung liegt und für die f (1) = 1 gilt! 2) Verschieben Sie den Graphen von f anschließend um 2 nach rechts und 3 nach oben und geben Sie eine Termdarstellung der entstehenden Funktion g an! c) 1) Für eine Polynomfunktion f gilt: f (x)=ax2 + c mit a * ℝ* und c * ℝ Geben Sie an, welche Art von Symmetrie der Graph von f aufweist! 2) Der Graph einer Polynomfunktion f vom Grad 3 besitzt den Hochpunkt (– 3 1 54), verläuft außerdem durch den Ursprung und weist dort die Steigung – 27 auf. Begründen Sie, dass der Graph symmetrisch bezüglich des Ursprungs ist! 12.60 Cavalieri’sches Prinzip Eine Halbkugel mit dem Volumen V1 und ein kegelförmig ausgehöhlter Zylinder mit gleichem Radius und gleicher Höhe mit dem Volumen V2 ruhen auf einer Ebene (in der Abbildung sind Querschnitte gezeichnet). r r r r r E r z x z z Der Mathematiker Bonaventura Cavalieri (1598 –1647) stellte einen Satz auf, der nach ihm als Cavalieri’sches Prinzip bezeichnet wird: Werden zwei Körper, die auf einer Ebene E ruhen und die gleiche Höhe h haben, von Ebenen parallel zu E geschnitten und sind die Inhalte der beiden Schnittflächen in jeder Höhe z einander gleich, dann haben die beiden Körper gleiches Volumen. AUFGABENSTELLUNG a) 1) Stellen Sie mithilfe von r eine Formel für V2 auf! 2) Zeigen Sie, dass V1 = V2! b) 1) Zeigen Sie mithilfe des Cavalieri’schen Prinzips, dass V1 = V2! 2) Zeigen Sie mithilfe der Integralrechnung, dass V1 = V2! AG-R 2.1 AG-R 2.3 FA-R 1.5 AN-R 2.1 AN-R 3.3 FA-R 1.5 FA-R 3.2 FA-R 4.4 AN-R 2.1 AN-R 3.3 AG-R 2.1 AN-R 4.2 AN-R 4.3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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