26 2.1 Flächeninhalte Flächeninhalte bei positiven Funktionswerten R Ist die Funktion f stetig in [a; b] und f (x) º 0 für alle x * [a; b], dann gilt für den Inhalt A (a, b) der von f in [a; b] festgelegten Fläche: A(a, b) = ∫ a b f (x) dx 2.01 Berechne den Inhalt der Fläche, die von der Funktion f mit f (x) = 3 – x 2 _ 2 im Intervall [– 2; 2] festgelegt wird! LÖSUNG A(–2; 2) = ∫ – 2 2 f (x) dx= ∫ – 2 2 ( 3 – x 2 _ 2 ) dx= 3x – 1 _ 6 x 3 | – 2 2 = 28 _ 3 ≈ 9,33 Flächeninhalte bei negativen Funktionswerten R Falls f (x) ª 0 für alle x * [a; b] ist, spiegeln wir den Graphen der Funktion f an der x-Achse. Die gespiegelte Funktion bezeichnen wir mit ‾f. Es gilt ‾f(x) = – f (x) für alle x * [a; b]. Der Inhalt der von f in [a; b] festgelegten Fläche ist offensichtlich gleich dem Inhalt der von ‾fin [a; b] festgelegten Fläche. Somit gilt: A f (a, b) = A ‾f (a, b) = ∫ a b _ f(x) dx= ∫ a b (– f (x)) dx= – ∫ a b f (x) dx Satz Die reelle Funktion f sei in [a; b] stetig und es sei f (x) ª 0 für alle x * [a; b]. Für den Inhalt A (a, b) der von f in [a; b] festgelegten Fläche gilt: A (a, b) = – ∫ a b f (x) dx= | ∫ a b f (x) dx| x f(x) 2 –2 1 0 f 0 f (x), f¯ (x) a b f f¯ x a b f 0 x f (x) GRUNDKOMPETENZEN Den Begriff des bestimmten Integrals als Grenzwert einer Summe von Produkten deuten und beschreiben können. Einfache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für ∫ k · f(x)dx und ∫ f (k · x) dx, bestimmte Integrale von Polynomfunktionen ermitteln können. Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können. AN-R 4.1 AN-R 4.2 AN-R 4.3 EINIGE ANWENDUNGEN DER INTEGRALRECHNUNG 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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