27 2.1 Flächeninhalte 2.02 Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f mit f (x) = 1 _ 2 x 3 – 5 x2 + 12 x und der x-Achse eingeschlossen wird! LÖSUNG Eine Untersuchung der Funktion f liefert den abgebildeten Graphen. Die Nullstellen von f sind: 0; 4; 6. Man sieht, dass die gesuchte Fläche in zwei Teile zerfällt: A(0; 4) = ∫ 0 4 ( 1 _ 2 x 3 – 5 x2 + 12 x) dx = 1 _ 8 x 4 – 5 _ 3 x 3 + 6 x2 | 0 4 = 64 _ 3 A(4; 6) = –∫ 4 6 ( 1 _ 2 x 3 – 5 x2 + 12 x) dx = 1 _ 8 x 4 – 5 _ 3 x 3 + 6 x2 = = | – 10 _ 3 | = 10 _ 3 A(0; 6) = A(0; 4) + A(4; 6) = 64 _ 3 + 10 _ 3 = 74 _ 3 ≈ 24,67 BEACHTE Besitzt eine Funktion positive und negative Werte, dann sind die Inhalte der Flächen, die über der ersten Achse liegen, und die Inhalte der Flächen, die unter der ersten Achse liegen, getrennt zu berechnen. 2.03 Berechne den Inhalt der von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegten Fläche! a) f(x)=3–x2, [– 1; 1] c) f(x) = 7 + x4, [0; 1] e) f(x) = 4x3 + x + 1, [0; 3] b) f(x)=8–2x2, [–2; 0] d) f (x) = x2 + x, [2; 3] f) f (x) = x2 – 3, [–3; –2] 2.04 Berechne den Inhalt der von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegten Fläche! a) f(x)=4–x2, [2; 4] b) f(x) = –1 – 4x4, [–1; 2] c) f(x) = 3x2 + 8x, [–2; –1] 2.05 Berechne den Inhalt der von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegten Fläche! a) f (x) = sin x, [0; π] b) f(x) = cosx, [ – π _ 2 ; π _ 2 ] c) f (x) = 1 – sin x, [0; π] 2.06 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f. Zusätzlich sind zwei Flächen A1 und A2 gekennzeichnet. A 1 hat einen Flächeninhalt von 16 _ 3 Flächeneinheiten, A 2 hat einen Flächeninhalt von 7 _ 3 Flächeneinheiten. Gib den Wert des bestimmten Integrals ∫ 0 6 f (x) dx an! 2.07 Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f und der x-Achse eingeschlossen wird! a) f(x) = 3x(4 – x)3 c) f (x) = x2 – 5 e) f(x) = (x2 – 1) · (x – 4) b) f (x) = x2 –2x–15 d) f (x) = x3 – x2 f) f(x) = –x3 – 5 x2 – 4 x 2.08 Berechne den Inhalt der Fläche, die von dem Teil des Graphen der Funktion f, der oberhalb der x-Achse liegt, und der x-Achse eingeschlossen wird! a) f(x) = x(x2 – 1) c) f(x) = – 1 _ 2 x 4 + 8x2 e) f(x) = –(x – 1)2 + 3 b) f(x) = 2x3 – 18 x d) f(x) = –x2 + 3 f) f (x) = x3 – 8 x2 + 16 x x f –2 2 4 6 8 2 4 6 8 O f(x) –2 AUFGABEN R x f A1 A2 –2 2 4 6 2 O f(x) –2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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