29 2.1 Flächeninhalte Inhalte von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen R 2.14 Gegeben sind die Funktion f mit f (x) = 3 x – 1 _ 2 x 2 und die Punkte P = (2 1 f (2)) und Q = (6 1 f (6)). Berechne den Inhalt A der Fläche, die vom Graphen von f und der Geraden g = PQ begrenzt wird! LÖSUNG P = (2 1 4) und Q = (6 1 0) 1. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT: A f (2; 6) = ∫ 2 6 (3 x – 1 _ 2 x 2) dx = = 3 _ 2 x 2 – 1 _ 6 x 3 | 2 6 = 40 _ 3 A g (2; 6) = 1 _ 2 ·4·4=8 (Flächeninhalt eines Dreiecks) A = A f (2; 6) – Ag (2; 6) = 40 _ 3 –8= 16 _ 3 2. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT: Zeige selbst, dass x + y = 6 eine Gleichung der Geraden g ist! Die Gerade ist also der Graph der linearen Funktion g mit g (x) = – x + 6. A f (2; 6) = ∫ 2 6 (3 x – 1 _ 2 x 2) dx = 3 _ 2 x 2 – 1 _ 6 x 3 | 2 6 = 40 _ 3 A g (2; 6) = ∫ 2 6 (–x + 6)dx = – 1 _ 2 x 2 + 6 x | 2 6 = 8 A = A f (2; 6) – Ag (2; 6) = 40 _ 3 –8= 16 _ 3 3. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT: A = Af (2; 6) – Ag (2; 6) = ∫ 2 6 f(x)dx – ∫ 2 6 g(x) dx = ∫ 2 6 [f (x) – g (x)] dx = ∫ 2 6 [ (3 x – 1 _ 2 x 2) – (–x + 6) ] dx = = ∫ 2 6 (– 1 _ 2 x 2 +4x–6) dx = – 1 _ 6 x 3 + 2 x2 – 6 x | 2 6 = 16 _ 3 Die dritte Lösungsmöglichkeit der vorigen Aufgabe lässt sich zu einem Satz verallgemeinern. Satz Die Funktionen f und g seien in [a; b] stetig und es sei f (x) º g (x) für alle x * [a; b]. Für den Inhalt A der Fläche, die von den Graphen von f und g sowie den Geraden x = a und x = b eingeschlossen wird, gilt: A = ∫ a b [f (x) – g (x)] dx (Integral von „oberer“ minus „unterer“ Funktion) BEWEIS W ir wählen notfalls k so, dass die Graphen von f + k und g + k über der 1. Achse liegen. Dann gilt: A = ∫ a b (f+k)–∫ a b (g+k)=∫ a b [(f+k)–(g+k)]=∫ a b (f – g) kompakt Seite 48 2 4 2 4 6 8 0 f (x) x P f g Q 2. A. 1. A. g 0 a b f 2. A. 1. A. 0 a b f + k g + k f g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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