30 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 2.15 Kann man den Inhalt A der grün unterlegten Gesamtfläche mithilfe der folgenden Formel darstellen? A = ∫ a d (f – g) Wenn nicht, stelle ihn als Summe von Integralen dar! a b c d 0 f (x), g (x) x f g 2.16 Welche der nachstehenden Gleichungen geben den Inhalt A der gesamten grün markierten Fläche an? Kreuze die beiden zutreffenden Gleichungen an! A = | ∫ – 4 4 (f (x) – g (x)) dx | A = ∫ – 4 0 (f (x) – g (x)) dx – ∫ 0 4 (g (x) – f (x)) dx A = ∫ – 4 0 (g (x) – f (x)) dx + ∫ 0 4 (g (x) – f (x)) dx A = ∫ – 4 0 (f (x) – g (x)) dx + ∫ 0 4 (g (x) – f (x)) dx A = | ∫ – 4 0 (g (x) – f (x)) dx | – ∫ 0 4 (f (x) – g (x)) dx 2.17 Der Punkt P auf dem Graphen der Funktion f wird mit dem Ursprung O geradlinig verbunden. Berechne den Inhalt der Fläche zwischen der Strecke OP und dem Graphen von f! a) f (x) = 1 _ 2 x 3, P = (2 | f (2)) b) f (x) = x2, P = (3 | f (3)) 2.18 Berechne den Inhalt der von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossenen Fläche! a) f (x) = 3 _ 2 x 2, g (x) = x2 + 2 b) f (x) = 2x2,g(x) = 12 – x2 2.19 Auf dem Graphen der Funktion f liegen die Punkte P und Q. Berechne den Inhalt des Segments, das von der Strecke PQ und vom Graphen von f eingeschlossen wird! a) f (x) = 1 _ 4 x 2 + 1, P = (– 2 | f (– 2)), Q = (4 | f (4)) b) f (x) = 1 _ 9 x 3 + 1, P = (0 | f (0)), Q = (3 | f (3)) 2.20 Berechne den Inhalt des Flächenstückes, das vom Graphen der Funktion f, der Tangente an den Graphen im Punkt P und den beiden Koordinatenachsen begrenzt wird! a) f(x) = 2 _ 3 x 2 + 2, P = (3 | f (3)) b) f (x) = 3 _ 4 x 2 + 6, P = (4 | f (4)) 2.21 Berechne den Inhalt der vom Graphen der Funktion f und der Geraden g begrenzten Fläche! a) f (x) = 4 · � _ x,g:x–y+3=0 c) f(x) = 4 – x2 ,g:y=–5 b) f (x) = 12 _ x ,g:3x+2y–18=0 d) f (x) = 1 _ 4 (x 2 –2x–8),g:x–2y+2=0 2.22 Berechne den Inhalt des Flächenstückes, das von den Graphen der Funktionen f und g begrenzt wird! In welchem Verhältnis wird dieses Flächenstück von der durch die Schnittpunkte der beiden Funktionsgraphen verlaufenden Geraden geteilt? a) f (x) = x2 – 2x +1, g(x) = –2x2 + 10x + 16 c) f(x) = 2x2 –x+2, g(x)=–x2 –7x+11 b) f(x) = –5x2 – 10 x + 1, g (x) = 4 x2 – x – 17 d) f(x) = –3x2 +12x + 5, g(x) = 2x2 –23x+55 AUFGABEN R x f g –4 –2 2 4 2 4 O f(x), g(x) –2 –4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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