31 2.1 Flächeninhalte 2.23 Gib einen Term an, der den Inhalt des grün gefärbten Flächenstückes mithilfe der Integralrechnung beschreibt! a) x y a f b c b) x y a f g b c O c) x y a f g b c O d) x y a f g b O 2.24 Einem Quadrat mit der Seitenlänge a wird ein Parabelstück wie in nebenstehender Abbildung eingeschrieben. Archimedes hat gezeigt, dass die Parabel die Quadratfläche im Verhältnis 2 :1 teilt. Beweise dies! a a 2.25 Die von der Funktion f mit f (x) = x3 im Intervall [0; 2] festgelegte Fläche soll durch eine Parallele zur y-Achse halbiert werden. Gib eine Gleichung dieser Parallelen an! 2.26 Berechne den Inhalt der von den Graphen der Funktionen f und g sowie den Geraden x = 0 und x = π eingeschlossenen Fläche! a) f(x) = cos x +1,g(x) = sinx –1 b) f (x) = cos x – 2, g (x) = 2 · sin x + 1 2.27 Gegeben sind eine Parabel p und eine Gerade g. Berechne den Flächeninhalt des von g und p begrenzten Parabelsegments! a) p: y 2 =8x,g:2x–y=8 b) p: y 2 =9x,g:3x+2y=9 2.28 Berechne den Inhalt des Flächenstückes, das von den Parabeln p 1 und p2 begrenzt wird! a) p 1: y 2 = 9 x, p 2: x 2 = 8 _ 3 y b) p 1: y 2 = 4 x, p 2: y 2 =16(x – 3) 2.29 Gegeben sind die Funktion f mit f (x) = 1 _ 8 (x 3 – 6x2 + 32) und die Gerade g: x – 2 y + 2 = 0. 1) Zeige, dass die Gerade g durch den Wendepunkt des Graphen von f geht! 2) Berechne die beiden anderen Schnittpunkte der Geraden g mit dem Graphen von f! 3) Zeige, dass die Gerade g und der Graph von f zwei endliche Flächenstücke mit gleichem Inhalt einschließen! 2.30 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Polynomfunktion f. Die Flächeninhalte der beiden grün markierten Bereiche sind gleich groß. Kreuze jene beiden Ausdrücke an, mit denen der Flächeninhalt des gesamten grün markierten Bereichs berechnet werden kann! 2 ∫ – 3 0 f (x) dx ∫ 0 3 f (x) dx – ∫ – 3 0 f (x) dx 2 · ∫ 0 3 f (x) dx | ∫ – 3 3 f (x) dx | ∫ – 3 0 f (x) dx – ∫ 0 3 f (x) dx x f –4 –2 2 4 2 4 O f(x) –2 –4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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