33 2.2 Weglängen LÖSUNG 1) Es gilt s’ (t) = v (t). Die Zeit-Ort-Funktion s ist also eine Stammfunktion der Geschwindigkeitsfunktion v und somit von der Form: s (t) = 3 _ 2 · t 2 + c Aus s (0) = 0 folgt c = 0. Somit gilt: s(t) = 3 _ 2 · t 2 2) 1. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT: w (t 1 , t 2) = s (t2) – s (t1) = 3 _ 2 · t 2 2 – 3 _ 2 · t 1 2 = 3 _ 2 · (t2 2 – t 1 2) (m) 2. LÖSUNGSMÖGLICHKEIT: w (t 1 , t 2) = ∫ t1 t2 v(t)dt = ∫ t1 t2 3tdt=3·t 2 _ 2 | t1 t2 = 3 _ 2 · (t2 2 – t 1 2) (m) 3) w(2; 3) = 3 _ 2 · (3 2 – 2 2) = 7,5 (m) 2.32 Ein Auto fährt mit der Anfangsgeschwindigkeit 10 m/s und beschleunigt. Seine Geschwindigkeit t Sekunden nach Beginn des Beschleunigungsvorgangs ist näherungsweise gegeben durch v (t) = 2 t + 10 (m/s). Berechne die Länge des im Zeitintervall 1) [t 1 ; t 2], 2) [0; 3], 3) [1; 3] zurückgelegten Weges! 2.33 Ein Auto fährt t Sekunden nach dem Beginn einer Beschleunigungsphase annähernd mit der Geschwindigkeit v (t) = 3 t + 15 (m/s). Am Beginn dieser Phase ist das Auto 1 500 m vom Startpunkt entfernt, von dem es sich geradlinig wegbewegt. Wie groß ist seine Entfernung s (t) vom Startpunkt zum Zeitpunkt t? 2.34 Nebenstehend ist eine Geschwindigkeitsfunktion v: t ¦ v (t) dargestellt. Was bedeutet der Inhalt der grün unterlegten Fläche? Begründe die Antwort! Geschwindigkeit v (t) a b 0 Zeit t v 2.35 Stelle den Inhalt der grün unterlegten Fläche als Integral dar! Was bedeutet dieser Inhalt, wenn f (x) die 1) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x ist, 2) Breite eines Flusses in der Entfernung x von der Quelle ist? a 0 f (x) x f 2.36 Nebenstehend ist eine Geschwindigkeitsfunktion v dargestellt. 1) Stelle die zurückgelegten Weglängen w (0; 8) und w (8; 11) in der Abbildung grafisch dar! 2) Stelle diese Weglängen durch Integrale dar und berechne sie anhand der Abbildung! 2 4 6 v 0 2 468101214 Geschwindigkeit v (t) (in m/s) Zeit t (in s) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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