35 2.2 Weglängen Berechnung von Weglängen bei vorgegebener Beschleunigungsfunktion R 2.41 Ein Körper hat die Anfangsgeschwindigkeit 2 m/s und wird beschleunigt. Seine Beschleunigung nach t Sekunden ist gegeben durch a (t) = t (m/s2). 1) Stelle eine Formel für die Länge des im Zeitintervall [t1 ; t 2 ] zurückgelegten Weges auf! 2) Berechne die Länge des im Zeitintervall [2; 3] zurückgelegten Weges! LÖSUNG Es sei v: t ¦ v (t) die Geschwindigkeitsfunktion und a: t ¦ a (t) die Beschleunigungsfunktion. Es gilt: v’ (t) = a (t). Die Geschwindigkeitsfunktion v ist also eine Stammfunktion der Beschleunigungsfunktion a und somit von der Form: v (t) = 1 _ 2 t 2 + c Aus v (0) = 2 folgt c = 2. Somit gilt: v (t) = 1 _ 2 t 2 + 2 1) w (t 1 ; t 2) = ∫ t1 t2 v(t)dt = ∫ t1 t2 ( 1 _ 2 t 2 + 2) dt = ( t 3 _ 6 + 2 t) | t1 t2 = t 2 3 _ 6 + 2 t2 – t 1 3 _ 6 – 2 t1 = = 1 _ 6 (t 2 3 – t 1 3) + 2 (t 2 – t 1) (m) 2) w(2; 3) = 1 _ 6 ·(27–8)+2·(3–2)= 31 _ 6 ≈ 5,2 (m) 2.42 Ein Körper hat die Anfangsgeschwindigkeit 1 m/s und wird beschleunigt. Seine Beschleunigung nach t Sekunden ist gegeben durch a (t) = t (t + 1) (m/s2). Berechne die Länge des im Zeitintervall 1) [t 1 ; t 2 ], 2) [0; 5] zurückgelegten Weges! 2.43 Ein Körper hat die Anfangsgeschwindigkeit 10 m/s und wird verzögert. Seine Beschleunigung nach t Sekunden ist gegeben durch a (t) = – t (m/s 2). Berechne die Länge des im Zeitintervall 1) [t 1 ; t 2 ], 2) [0; 5] zurückgelegten Weges! 2.44 Ein Körper erfährt ab dem Zeitpunkt t = 0 die Beschleunigung a (t) = 1 _ 4 t (m/s 2). 1) Berechne die Geschwindigkeit v (t) des Körpers zum Zeitpunkt t, wenn v (0) = 5 m/s ist! 2) Berechne die Länge des in den ersten drei Sekunden nach dem Beginn der Beschleunigungsphase zurückgelegten Weges! 2.45 Ein Stein fällt aus 20 m Höhe. Er erfährt die konstante Erdbeschleunigung g. Zeige: 1) Die Geschwindigkeit des Steins nach t Sekunden beträgt v (t) = g · t. 2) Die Höhe des Steins nach t Sekunden beträgt h (t) = 20 – g _ 2 t 2 (für 0 ª t ª � _ 40 _ g ) . 2.46 Im Allgemeinen ist die Beschleunigung eines Autos nicht konstant. Bei höheren Geschwindig- keiten nimmt sie ab und wird schließlich 0 (bei Erreichen der Höchstgeschwindigkeit). Angenommen, ein Auto beschleunigt aus dem Stand (s (0) = 0, v (0) = 0), wobei seine Beschleunigung t Sekunden nach dem Start annähernd durch a (t) = 3,2 – 0,16 t + 0,002 t2 (m/s2) gegeben ist und diese Formel bis zu dem Zeitpunkt gilt, für den a (t) = 0 ist. 1) Wie lange beschleunigt das Auto? 2) Gib eine Formel für die Geschwindigkeit v (t) zum Zeitpunkt t an! 3) Bestimme die Höchstgeschwindigkeit in m/s und km/h! 4) Wie lang ist der Weg, den das Auto bis zum Zeitpunkt t zurücklegt? 5) Wie lang ist der Weg bis zur Erreichung der Höchstgeschwindigkeit? Ó Arbeitsblatt px84gh AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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