36 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 2.3 Volumina Volumen als Integral der Querschnittsfläche R In der nebenstehenden Abbildung ist ein Körper K dargestellt. Wir legen eine Ebene parallel zur xy-Ebene durch den Punkt (0 1 0 1 z) und schneiden diese mit dem Körper K. Die entstehende Schnittfläche bezeichnen wir als Querschnittsfläche in der Höhe z. Ihren Inhalt bezeichnen wir mit A (z) (wobei a ª z ª b). Die Funktion A: [a; b] ¥ R ‡ z ¦ A (z) nennen wir die Querschnittsflächenfunktion des Körpers bezüglich der z-Achse. Wir setzen stets voraus, dass die Funktion A stetig ist. 2.47 Der nebenstehend abgebildete Körper K hat die Höhe 4. Die Querschnittsfläche ist in jeder Höhe z * [0; 4] ein Quadrat mit der Diagonalenlänge d (z) = 8 – 4 � _ z . 1) Begründe, dass man das Volumen V (K) des Körpers als Integral darstellen kann! 2) Berechne dieses Volumen! LÖSUNG 1) Es sei A (z) der Inhalt der Querschnittsfläche in der Höhe z. Wir betrachten eine Zerlegung Z des Intervalls [0; 4] in n Teilintervalle der Länge Δ z. Durch jeden Teilungspunkt legen wir eine Ebene parallel zur xy-Ebene. Zwischen diesen Ebenen errichten wir Prismen, die dem Körper ein- bzw. umgeschrieben sind (siehe nebenstehende Abbildung). Die Summe der Volumina der eingeschriebenen (umgeschriebenen) Prismen liefert eine Untersumme (Obersumme) für das Volumen des Körpers K. Anschaulich ist klar, dass für alle Untersummen U und alle Obersummen O von A in [0; 4] gilt: U ªV(K) ª O Andererseits gilt aufgrund der Definition des Integrals für alle Untersummen U und alle Obersummen O von A in [0; 4]: U ª ∫ 0 4 A (z) dzª O Da es genau eine reelle Zahl gibt, die „zwischen“ allen Untersummen U und allen Obersummen O von A in [0; 4] liegt, muss gelten: V (K) = ∫ 0 4 A (z) dz 2) Ist a (z) die Seitenlänge des Schnittquadrats in der Höhe z, dann gilt nach dem pythagoräischen Lehrsatz: [d (z)]2 = 2 · [a (z)]2. Daraus folgt: A (z) = [a (z)]2 = 1 _ 2 · [d (z)] 2 = 1 _ 2 ·(8–4 � _ z ) 2 = 32 – 32� _ z + 8 z V = ∫ 0 4 A(z)dz = ∫ 0 4 (32–32·� _ z+ 8z)dz = 8·∫ 0 4 (4–4·z 1 _ 2 + z) dz = = 8 · (4 z – 8 _ 3 · z 3 _ 2 + 1 _ 2 z 2) | 0 4 = 64 _ 3 x y z b z a A(z) 4 z 0 4 0 Δz Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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