37 2.3 Volumina Die in der letzten Aufgabe erhaltene Formel für das Volumen kann verallgemeinert werden: Satz Es sei K ein Körper und A (z) der Inhalt der Querschnittsfläche in der Höhe z (mit a ª z ª b). Falls die Querschnittsflächenfunktion A stetig ist, gilt für das Volumen V (K) des Körpers: V (K) = ∫ a b A (z) dz Merke Das Volumen ist das Integral des Querschnittsflächeninhalts nach der Höhe. 2.48 Für den nebenstehend abgebildeten Körper ist die Querschnittsfläche in jeder Höhe z * [0; 6] ein Quadrat mit der Seitenlänge a(z)=6–1 _ 6 z 2. 1) Begründe, dass das Volumen des Körpers als Integral dargestellt werden kann! 2) Berechne das Volumen des Körpers! 6 z 0 A B C D a(z) S 2.49 Für den nebenstehend abgebildeten Körper ist die Querschnittsfläche in jeder Höhe z * [0; 8] ein regelmäßiges Sechseck mit der Seitenlänge a (z) = 1 _ 8 (z – 4) 2 + 2. Berechne das Volumen des Körpers! 8 z 0 a(z) 2.50 Die nebenstehend abgebildete Staumauer ist 50m hoch und hat in jeder Höhe eine annähernd rechteckige horizontale Schnittfläche. Die Breite der Mauer (und damit eine Seitenlänge der Schnittfläche) ist in einer Höhe von z Meter über der Grundfläche gegeben durch: b(z) = 1 _ 150 (z 2 + 40 z + 3 000) (in Meter) Die Dicke dieser Mauer (und somit die zweite Seitenlänge der horizontalen Schnittfläche) nimmt von 30 m an der tiefsten 50 z 0 b(z) Stelle (z = 0) bis zu 10 m an der höchsten Stelle (z = 50) linear ab. Wieviel Kubikmeter Beton sind zur Errichtung der Staumauer erforderlich? 2.51 (Fortsetzung von 2.47) Begründe die Formel V = ∫ 0 4 A (z) dz analog zu dem auf Seite 17 beschriebenen Verfahren zur Flächenberechnung nach Leibniz! x y z b z a A(z) AUFGABEN R Ó Applet qk7gh8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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