39 2.3 Volumina Volumina von Rotationskörpern R Bei der Herleitung der Formel V (K) = ∫ a b A (z) dzhaben wir Ebenen normal zur z-Achse gelegt. Legt man Ebenen normal zur x-Achse oder y-Achse, erhält man durch analoge Überlegungen: V (K) = ∫ a b A (x) dx bzw. V (K) = ∫ a b A (y) dy • Dreht sich der nebenstehend abgebildete Graph der Funktion f um die x-Achse, entsteht ein Drehkörper (Rotationskörper). Wir setzen y = f (x). Für den Inhalt der Querschnittsflächenfunktion an der Stelle x gilt: A (x) = y 2 · π Für das Volumen des Rotationskörpers ergibt sich: V = ∫ a b A(x)dx = ∫ a b y 2 · π dx = π · ∫ a b y 2 dx • Analog gehen wir vor, wenn sich der Graph von f um die y-Achse dreht. Wir setzen voraus, dass sich die Gleichung y = f (x) eindeutig nach x auflösen lässt, dh., dass die Umkehrfunktion f* von f existiert: x = f*(y) Für den Inhalt der Querschnittsflächenfunktion an der Stelle y gilt dann: A(y) = x2 · π Für das Volumen des Rotationskörpers ergibt sich: V = ∫ c d A(y)dy = ∫ c d x 2 · π dy = π · ∫ c d x 2 dy Wir haben somit bewiesen: Satz Es sei f eine reelle Funktion mit y = f (x), a ª x ª b und c ª y ª d. Dreht sich der Graph der Funktion f um eine Koordinatenachse, dann gilt für das Volumen des entstehenden Rotationskörpers (1) bei Drehung um die x-Achse: (2) bei Drehung um die y-Achse: V = π · ∫ a b y 2 dx V = π · ∫ c d x 2 dy f y x a b x y x y x c f d y kompakt Seite 48 f y x a b x y Ó Applet qk856h x y x c f d y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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