40 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 2.55 Eine Ellipse mit der Gleichung b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 rotiert 1) um die x-Achse, 2) um die y-Achse. Berechne jeweils das Volumen des entstehenden Rotationsellipsoids! LÖSUNG 1) y y x x a – a 0 b – b X = (x1y) 2) y y x x a – a 0 b – b X = (x1y) Aus der Ellipsengleichung folgt: Aus der Ellipsengleichung folgt: y 2 = b 2 – b 2 _ a 2 x 2 x 2 = a 2 – a 2 _ b 2 y 2 Nach dem obigen Satz ergibt sich: Nach dem obigen Satz ergibt sich: V _ 2 = π · ∫ 0 a (b 2 – b 2 _ a 2 x 2) dx V _ 2 = π · ∫ 0 b (a 2 – a 2 _ b 2 y 2) dy Rechne selbst! Es ergibt sich: V = 4 π _ 3 a b 2 Rechne selbst! Es ergibt sich: V = 4 π _ 3 a 2 b 2.56 Der zwischen den Geraden x = –2 a und x = 2 a liegende Teil der Hyperbel hyp: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2 rotiert a) um die x-Achse, b) um die y-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Rotationshyperboloids! y y x a 2a – a – 2a 0 x a 2a – a – 2a 0 zweischaliges Rotationshyperboloid einschaliges y y x 2.57 a) Ein Paraboloid entsteht durch Drehung der Parabel y2 =2pxum die x-Achse für – 2 p ª y ª 2 p. Stelle eine Formel für das Volumen des Paraboloids auf! y 2p – 2p 0 x b) Ein Paraboloid entsteht durch Drehung der Parabel x2 = 2py um die y-Achse für – 2 p ª x ª 2 p. Stelle eine Formel für das Volumen des Paraboloids auf! y 2p – 2p 0 x 2.58 Der Graph der Funktion f rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers! a) f (x) = 1 _ 3 x, 0ªxª5 c) f (x) = 3 � _ x, 1ªxª27 e) f(x) = ax2, 0 ª x ª a b) f (x) = 3 _ 5 x+2, 1ªxª5 d) f(x) = 2e x, –1ªxª3 f) f(x) = ax3 + 8, 0 ª x ª a AUFGABEN R Ó Applet qm35jd Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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