41 2.3 Volumina 2.59 Der Graph der Funktion f rotiert um die y-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers! a) f (x) = 1 _ 3 x, 0ªxª4 c) f (x) = 1 _ 2 x 2, 0 ª x ª 2 e) f (x) = 2 _ x , 1 _ 2 ªxª2 b) f (x) = 1 _ 2 x+2, 2ªxª8 d) f (x) = � _ x, 1ªxª4 f) f(x) = (x + a)2, 0 ª x ª a 2.60 Leite die Formel V = 4 r 3 π _ 3 für das Volumen einer Kugel her! HINWEIS A(x) = y 2 π und x2 + y2 = r2 r r – r 0 x y 2.61 Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Graph der Funktion f zwischen den beiden Nullstellen von f um die x-Achse rotiert! a) f(x)=9–x2 c) f (x) = � _ 4 – x 2 b) f (x) = x2 (3 – x) d) f (x) = � _9–4x 2 2.62 Die von der Funktion f im Intervall [a; b] festgelegte Fläche rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers und überprüfe das Ergebnis mit einer elementargeometrischen Volumsformel! a) f(x)=r, a=0, b=h c) f(x)=2+x, a=0, b=h b) f(x)=x, a=0, b=h d) f (x) = R – r _ h ·x+r, a=0, b=h 2.63 Der Hohlraum einer Sektschale entsteht durch Rotation der Funktion f mit f(x) = k · � _ xum die 1. Achse. Der Hohlraum ist 4 cm hoch und der Rand hat einen Radius von 6cm. 1) Wie hoch steht der Flüssigkeitsspiegel in der Schale, wenn diese einen Achtelliter Sekt enthält? HINWEIS 1 Liter = 1 000 cm3 2) Wie hoch müsste die Schale mindestens sein, damit ein Viertelliter Sekt darin Platz hätte? 2.64 Der Graph der im angegebenen Intervall definierten Funktion f rotiert einmal um die x-Achse und einmal um die y-Achse. Wie verhalten sich die Volumina der jeweils entstehenden Rotationskörper zueinander? a) f (x) = x2, [0; 2] b) f (x) = 2 · � _ x, [0; 1] c) f (x) = 6 _ x , [1; 3] d) f (x) = 8 _ x , [2; 8] 2.65 Der Graph der Funktion f, die Tangente an den Graphen im Punkt P und die beiden Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche. Diese rotiert um die x-Achse bzw. um die y-Achse. Berechne die Volumina der entstehenden Drehkörper! a) f (x) = 1 _ 4 x 2 + 3, P = (6 | f (6)) b) f (x) = 3 _ 5 x 2 + 3, P = (5 | f (5)) 2.66 Ein Rotationsparaboloid entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion f: x ¦ k · � _ xum die x-Achse. Zeige: Das Volumen des Rotationsparaboloids ist halb so groß wie das Volumen des umgeschriebenen Zylinders (siehe nebenstehende Abbildung). 0 h r x y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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