42 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 2.4 Physikalische Anwendungen des Integrals Arbeit als Integral der Kraft nach dem Weg R Ein Körper werde durch eine Kraft → Fmit dem Betrag F geradlinig vom Ort a zum Ort b bewegt, wobei vorausgesetzt wird, dass die Kraftrichtung mit der Wegrichtung übereinstimmt und der Betrag F der Kraft konstant ist (siehe nebenstehende Abbildung). Die dabei verrichtete Arbeit ist definiert durch: Arbeit = Kraft · Weg W(a,b)=F·(b–a) Wir nehmen nun an, dass zwar die Kraftrichtung mit der Wegrichtung übereinstimmt, der Betrag F der Kraft jedoch nicht konstant ist. Jedem Ort x * [a; b] wird dadurch ein Betrag F (x) der Kraft zugeordnet. Was soll man in diesem Fall unter der verrichteten Arbeit verstehen? Wir denken uns das Wegintervall [a; b] in Teilintervalle der Länge Δ x zerlegt. In jedem Teilintervall wählen wir eine Stelle x mit kleinstmöglichem (größtmöglichem) F (x) und berechnen damit die kleinstmögliche (größtmögliche) Arbeit Δ W = F(x)· Δ x in diesem Teilintervall. Die Summe dieser Produkte liefert eine Untersumme U (Obersumme O) für die gesuchte Arbeit W (a, b). Anschaulich ist klar, dass für alle Untersummen U und alle Obersummen O für W (a, b) gilt: UªW(a,b)ªO Andererseits gilt aufgrund der Definition des Integrals für alle diese Untersummen U und Obersummen O: U ª ∫ a b F(x)dx ª O Da es genau eine reelle Zahl gibt, die „zwischen“ allen diesen Untersummen U und allen diesen Obersummen O liegt, muss gelten: W(a, b) = ∫ a b F (x) dx Falls F konstant ist, ergibt sich die ursprüngliche Formel als Spezialfall: W(a,b) = ∫ a b Fdx=F·∫ a b 1·dx=F·x | a b = F · (b – a) Wir halten fest: Satz Ein Körper werde durch eine Kraft von a nach b bewegt. Für jedes x * [a; b] sei F (x) der Betrag dieser Kraft. Dann ist die dabei verrichtete Arbeit gegeben durch: W(a, b) = ∫ a b F (x) dx Merke Die Arbeit ist das Integral der Kraft nach dem Weg. Im Folgenden messen wir die Weglänge stets in Meter (m), die Kraft in Newton (N) und die Arbeit in Joule (J). Dabei gilt: 1 J = 1 Nm a b 0 F Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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