43 2.4 Physikalische Anwendungen des Integrals Wird eine Schraubenfeder wie in nebenstehender Abbildung aus ihrer Ruhelage 0 bis zur Lage x ( < 0) gestaucht, entsteht eine Kraft, die der Stauchung entgegengerichtet ist und versucht, die Feder wieder in ihre Ruhelage zurückzuführen. Wenn die Stauchung nicht zu groß ist, gilt für den Betrag F dieser Kraft näherungsweise: F (x) = – k · x. Dabei ist die positive Zahl k die sogenannte Federkonstante, die vom Material und der Bauart der Feder abhängt. 2.67 Eine Schraubenfeder mit der Federkonstanten k = 400N/m wird ausgehend von ihrer Ruhelage um 0,05 m gestaucht. Berechne die Arbeit W, die die Feder verrichten muss, um wieder in die Ruhelage zurückzukehren! LÖSUNG F (x) = – 400 · x W (– 0,05; 0) = ∫ – 0,05 0 F (x) dx= ∫ – 0,05 0 (–400·x)dx = –400· ∫ – 0,05 0 xdx = –400·x 2 _ 2 | – 0,05 0 = 0,5 (J) 2.68 Die Federkonstante k einer Schraubenfeder beträgt a) 100 N/m, b) 200 N/m, c) k 0 N/m. Die Feder wird von der Ruhelage 0 bis zur Lage x = – 0,1 m gestaucht. Berechne die Arbeit, die die Feder verrichten muss, um sich wieder zur Ruhelage auszudehnen! 2.69 Die Federkonstante k einer Schraubenfeder beträgt k 0 N/m. Die Feder wird von der Ruhelage 0 bis zur Lage x (< 0) gestaucht. Stelle eine Formel für die Arbeit W (x; 0) auf, die die Feder verrichten muss, um sich wieder zur Ruhelage auszudehnen! 2.70 Eine Schraubenfeder wird aus ihrer Ruhelage bis zur Lage x (< 0) gestaucht. Um die Feder wieder in die Ruhelage zurückzuführen, muss die Arbeit W (x; 0) verrichtet werden. Ermittle, ob sich diese Arbeit verdoppelt, wenn 1) k doppelt so groß wird, 2) die Feder doppelt so weit gestaucht wird! 2.71 Auf einen im Gravitationsfeld der Erde befindlichen Körper wirkt die Gravitationskraft F (r) = G · M · m _ r 2 . Dabei ist r die Entfernung des Körpers vom Erdmittelpunkt (in Meter), M die Erdmasse (in Kilogramm), m die Masse des Körpers (in Kilogramm) und F (r) die Anziehungskraft (in Newton). G = 6,67 · 10– 11 m3 kg– 1 s– 2 ist die Gravitationskonstante. 1) Gib eine Formel für die Arbeit an, die verrichtet werden muss, um einen Körper der Masse m aus der Entfernung r1 vom Erdmittelpunkt in die Entfernung r2 vom Erdmittelpunkt zu bringen! 2) Berechne die Arbeit (in Joule), die verrichtet werden muss, um einen 1 t schweren Körper von der Erdoberfläche in 300 km Höhe zu bringen! (Erdradius R ≈ 6 378 km; Erdmasse M ≈ 5,97 · 1024 kg) 3) Berechne die Arbeit, die verrichtet werden muss, um einen Körper der Masse 100 kg von der Erdoberfläche um einen Erdradius zu entfernen! x 0 1 AUFGABEN R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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