54 3.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Eine Erweiterung des Integralbegriffs R Das Integral ∫ a b f haben wir nur für b > a definiert. Aus theoretischen Gründen ist es aber zweckmäßig, den Integralbegriff durch die folgende Zusatzdefinition zu erweitern: Definition (1) ∫ a a f = 0 (2) ∫ a b f=–∫ b a f, falls b < a Man kann zeigen, dass mit dieser Definition alle Sätze für Integrale auf Seite 20 gültig bleiben. AUFGABEN 3.01 Berechne: a) ∫ 9 6 x 2 dx b) ∫ π _ 2 – π _ 2 cos t dt c) ∫ 0 ln 2 e y dy d) ∫ 2 2 � _ x dx 3.02 Die Regel ∫ a b f + ∫ b c f = ∫ a c f haben wir auf Seite 20 für a < b < c bewiesen. Sie gilt aber für beliebige a, b, c aus dem Definitionsbereich von f. Zeige dies exemplarisch für: a) c < a < b b) b < a < c c) a < c < b d) a < b = c Die Integralfunktion R Definition Die reelle Funktion f sei im Intervall M stetig und es sei a * M. Unter der Integralfunktion von f bezüglich a versteht man die Funktion I a: M ¥ R ‡ x ¦ ∫ a x f. Falls f keine negativen Werte annimmt, kann die Integralfunktion I a für x > a wie in nebenstehender Abbildung als Flächeninhalt A (a, x) gedeutet werden. Sie ist aber auch für x < a definiert. AUFGABEN R a x f 0 : a x f A(a, x) = VERTIEFUNG DER INTEGRALRECHNUNG 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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