55 3.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung R Satz (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung) (1) Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] stetig und ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: ∫ a b f (x) dx = F (x) | a b = F(b) – F(a) (2) Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] bzw. [a; •) stetig, dann ist die Integralfunktion Ia: A ¥ ℝ ‡ x ¦ ∫ a x f eine Stammfunktion von f. BEWEIS (1) haben wir schon auf Seite 18 begründet. (2) I st F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: I a (x) = F (x) – F (a) Daraus folgt: I a ’ (x) = F’ (x) – 0 = f (x) Somit ist Ia eine Stammfunktion von f. BEACHTE Die wesentlichen Ergebnisse dieses Satzes lauten: (1) stellt sicher, dass man ein bestimmtes Integral einer stetigen Funktion f immer berechnen kann, wenn man eine Stammfunktion F von f kennt. (2) stellt sicher, dass eine stetige Funktion f stets eine Stammfunktion besitzt. 3.03 Die reelle Funktion f sei stetig in [a; b] und es sei f (x) ≥ 0 für alle x * [a; b]. Zeige, dass für die Integralfunktion Ia: [a; b] ¥ R mit I a (x) = ∫ a x fgilt: 1) I a ist monoton steigend in [a; b] 2) I a (a) = 0 3.04 Gib für die rechts dargestellte Funktion f eine Termdarstellung der Integralfunktion I1 bezüglich 1 mit I1 (x) = ∫ 1 x f (t) dtan! Berechne I1 (4) und veranschauliche I1 (4) in der Abbildung! Kontrolliere den Wert von I 1 (4) anhand einer geeigneten Flächenberechnung! 3.05 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = – x2 –2x+3. 1) Ermittle einen Funktionsterm der Integralfunktion I– 2 von f bezüglich – 2! 2) Bestimme I– 2 (1) und I– 2 (– 1)! 3.06 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = e– x. 1) Ermittle einen Funktionsterm der Integralfunktion I– 1 von f bezüglich –1! 2) Bestimme I– 1 (0) und I– 1 (1)! 3.07 F ist eine Stammfunktion von f. Man kennt F (2) = 8 und ∫ 2 5 f (x) dx = 6.Berechne F (5)! AUFGABEN R Ó Lernapplet qm43if x f 2 4 6 2 4 6 O f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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