56 3 VERTIEFUNG DER INTEGRALRECHNUNG 3.2 Unbestimmtes Integrieren Das unbestimmte Integral R Definition (Unbestimmtes Integral) Ist F eine beliebige Stammfunktion von f, so setzt man: ∫ f = ∫ f (x) dx= F (x) + c (mit c * R) Man bezeichnet das Symbol ∫ f bzw. ∫ f (x) dxals unbestimmtes Integral von f, weil keine Grenzen angegeben sind. Im Gegensatz dazu wird ein Integral mit vorgegebenen Grenzen als bestimmtes Integral bezeichnet. Die Bildung des unbestimmten Integrals bezeichnet man wie beim bestimmten Integral als Integrieren. Da die Konstante c eine beliebige reelle Zahl ist, ist das Symbol für das unbestimmte Integral nicht eindeutig. Es legt keine eindeutig bestimmte Funktion fest, sondern eine Menge von Funktionen (eine „Funktionenschar“). Das unbestimmte Integral wird oft benutzt, um Stammfunktionen anzugeben. BEISPIELE ∫ x 3 dx = x 4 _ 4 + c, ∫ sinxdx = –cosx + c, ∫ e x dx = ex + c Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren R Aus ∫ f (x) dx = F (x) + c folgt (sofern die auftretenden Ableitungen und Integrale existieren): • [ ∫ f (x) dx ] ’ = F’(x) = f (x) Daraus erkennt man: Wird f zuerst integriert und das Ergebnis der Integration anschließend differenziert, so ergibt sich wieder die Funktion f. Kurz: Differenzieren ist die Umkehrung des Integrierens. • ∫ f’ (x) dx = f (x) + c, da f eine Stammfunktion von f’ ist. Daraus erkennt man: Wird f zuerst differenziert und die Ableitung anschließend integriert, so ergibt sich wieder die Funktion f (bis auf eine additive Konstante c). Kurz: Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens (bis auf eine additive Konstante). 3.08 Ermittle das unbestimmte Integral! a) ∫ (x 3 – x + 1) dx c) ∫ � _ x dx e) ∫ 1 _ x3 dx g) ∫ (x– 3)2 dx b) ∫ (x – 1)2 dx d) ∫ sin (ω t) dt f) ∫ 3 � _ x 2 dx h) ∫ 2 · cos (2 x) dx 3.09 Ermittle das unbestimmte Integral von f! Differenziere das Ergebnis und zeige, dass sich die ursprüngliche Funktion f ergibt! a) f(x) = 3x c) f (x) = x2 – x + 1 e) f(x) = –x3 + 1 g) f (x) = 3 _ x b) f(x) = 2x +1 d) f(x) = 2 f) f (x) = – 5 � _ x – 2 h) f(x)=x+2x AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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