57 3.3 Weitere Integrationsmethoden 3.3 Weitere Integrationsmethoden Substitution L Die Formel ∫ a b f (x) dx = F (b) – F (a) ist nur anwendbar, wenn man eine Stammfunktion F von f kennt. Wenn dies nicht der Fall ist, kann man ein Integral manchmal berechnen, wenn man eine Substitution x = g (t) mit einer geeigneten Funktion g durchführt. Satz (Substitutionsregel) Sei f stetig, g differenzierbar mit stetiger Ableitung und x = g (t). Dann gilt: ∫ a b f (x) dx= ∫ c d f (g (t)) · g’ (t) dt = ∫ c d f (g (t)) · dx _ dt dt, wobei a = g (c) und b = g (d) BEWEIS W ir führen die Substitution x = g (t) durch. Wir setzen f als stetig und g als differenzierbar voraus und approximieren das Integral durch Summen: ∫ a b f (x) dx ≈ Σ f (x)· Δ x = Σ f (x)· Δ x _ Δ t · Δ t = Σ f (x)· Δ g (t) _ Δ t · Δ t Diese Näherung gilt im Allgemeinen umso genauer, je kleiner Δ t ist. Für Δ t ¥ 0 geht (wegen der Stetigkeit von g) auch Δ g (t) ¥ 0 und der Differenzenquotient Δ g (t) _ Δ t geht über in den Differentialquotienten dg (t) _ dt = g’ (t). Wir erhalten also für Δ t ¥ 0: ∫ a b f(x)dx = ∫ c d f (g (t)) · g’ (t) dt Die neuen Integralgrenzen c und d erhält man aus den Gleichungen a = g(c) und b = g (d). 3.10 Berechne: a) ∫ 0 1 1 _ 4 x + 3 dx b) ∫ 0 3 � _ x + 1dx LÖSUNG a) • Es liegt nahe, 4 x + 3 = t zu setzen, dh. folgende Substitution durchzuführen: x = t – 3 _ 4 • Neue Grenzen: x = 0 w t = 3, x = 1 w t = 7 • Nach der Substitutionsregel ergibt sich: ∫ 0 1 1 _ 4 x + 3 dx= ∫ 3 7 1 _ t · dx _ dt dt = ∫ 3 7 1 _ t · 1 _ 4 dt = 1 _ 4 · ∫ 3 7 1 _ t dt = 1 _ 4 · ln t | 3 7 = 1 _ 4 · (ln 7 – ln 3) ≈ 0,212 b) • Substitution: � _ x+1=t,dh.x=t2 – 1 • Neue Grenzen: x = 0 w t = 1, x = 3 w t = 2 • Nach der Substitutionsregel ergibt sich: ∫ 0 3 � _ x + 1dx= ∫ 1 2 t · dx _ dt dt= ∫ 1 2 t·2tdt= 2·∫ 1 2 t2 dt = 2 _ 3 · t 3 | 1 2 = 14 _ 3 BEMERKUNG In der Praxis geht man oft weniger exakt vor. ZB rechnet man in Aufgabe 3.10 a): x = t – 3 _ 4 w dx _ dt = 1 _ 4 w dx = 1 _ 4 dt w ∫ 0 1 1 _ 4 x + 3 dx= ∫ 3 7 1 _ t · 1 _ 4 dt = … Obwohl es eigentlich nicht erlaubt ist, dx _ dt als Bruch aufzufassen, führt dieses Vorgehen hier zum richtigen Ergebnis. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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