58 3 VERTIEFUNG DER INTEGRALRECHNUNG AUFGAB 3.11 Berechne: a) ∫ 0 1 5 _ 2 + 3 x dx (HINWEIS Setze 2 + 3 x = t!) b) ∫ 0 1 1 _ (x – 2)2 dx (HINWEIS Setze x – 2 = t!) 3.12 Berechne durch eine geeignete Substitution: a) ∫ 0 4 � _3x + 4dx b) ∫ 0 a � _ax + bdx (a, b > 0) c) ∫ 0 a 3 � _2x +1dx (a > 0) 3.13 Berechne durch eine geeignete Substitution: a) ∫ 0 1 e 5 x + 1 dx b) ∫ 0 1 3 · 2x – 2 dx c) ∫ π _ 2 3 π _ 4 sin (2 x – π _ 2 ) dx d) ∫ a b cos x + 1 _ 2 dx Mithilfe der Substitutionsregel kann man die in der Unterstufe nur anschaulich begründete Formel für den Flächeninhalt eines Kreises herleiten: Satz (Flächeninhalt eines Kreises) Für den Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r gilt: A = r2 · π BEWEIS Wir leiten zunächst eine Formel für den Flächeninhalt ‾A des nebenstehend abgebildeten Viertelkreises her. • Aus der Kreisgleichung x2 + y2 = r2 ergibt sich y = f (x) = � _r 2 – x 2 . Somit ist: ‾A = ∫ 0 r � _r 2 – x 2 dx • Um dieses Integral zu berechnen, substituieren wir: x = r · cos (t) (0 ª t ª π _ 2 ) • Neue Grenzen: x = 0 w t = π _ 2 , x=r w t = 0 • Nach der Substitutionsregel ergibt sich: • ‾A = ∫ 0 r � _r 2 – x2 dx = ∫ π _ 2 0 � ___________ r 2 – r2 · cos2 (t) · dx _ dt dt = –∫ 0 π _ 2 � ___________ r 2 – r2 · cos2 (t)· (– r · sin (t)) dt = = r2 · ∫ 0 π _ 2 � _1 – cos 2 (t)· sin (t) dt = r2 · ∫ 0 π _ 2 sin2 (t) dt • Zur Berechnung dieses Integrals verwenden wir die Formel sin 2 (t) = 1 – cos(2t) _ 2 : ‾A = r2 · ∫ 0 π _ 2 1 – cos(2t) _ 2 dt = r2 _ 2 · ∫ 0 π _ 2 [1 – cos (2 t)] dt = r 2 _ 2 · [ t – 1 _ 2 · sin (2 t) ] | 0 π _ 2 = r 2 _ 2 · ( π _ 2 – 0) = r2 π _ 4 • Daraus folgt: A = 4 · ‾A = r2 π Partielle Integration L Satz (Partielle Integration) Sei f stetig, F eine Stammfunktion von f und g differenzierbar mit stetiger Ableitung. Dann gilt: ∫ a b f (x) · g (x) dx= F (x) · g (x) | a b – ∫ a b F (x) · g’ (x) dx AUFGABEN L t x r f 0 r y r Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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