59 3.3 Weitere Integrationsmethoden BEWEIS Wir berechnen die Ableitung der Funktion F · g: (F · g)’ = F’ · g + F · g’ = f · g + F · g’ Die Funktion F · g ist also eine Stammfunktion der Funktion f · g + F · g’. Damit erhalten wir ∫ a b (f · g + F · g’)(x)dx= (F · g)(x) | a b w ∫ a b f (x) · g (x) dx+ ∫ a b F (x) · g’ (x) dx= F (x) · g (x) | a b w w ∫ a b f (x) · g (x) dx= F (x) · g (x) | a b – ∫ a b F (x) · g’ (x) dx BEISPIEL 1 ∫ 1 e x·In(x)dx = x 2 _ 2 · ln (x) | 1 e – ∫ 1 e x 2 _ 2 · 1 _ x dx = x2 _ 2 · In (x) | 1 e – 1 _ 2 · ∫ 1 e x dx = = x 2 _ 2 · In (x) | 1 e – 1 _ 2 · x2 _ 2 = e 2 _ 2 – ( e 2 _ 4 – 1 _ 4 ) = e 2 _ 4 + 1 _ 4 = 1 _ 4 (e 2 + 1) BEISPIEL 2 Manchmal hilft es, die Faktoren zu vertauschen: ∫ 0 π _ 2 x · sin (x) dx = ∫ 0 π _ 2 sin(x)·xdx = –cos(x)·x – ∫ 0 π _ 2 [– cos (x)] · 1 dx = = –cos(x)·x – [–sin(x)] = 0 +1 =1 BEISPIEL 3 ∫ 0 π _ 2 cos 2 (x) dx = ∫ 0 π _ 2 cos (x) · cos (x) dx = sin (x) · cos (x) – ∫ 0 π _ 2 sin (x) · [– sin (x)] dx = = 0 + ∫ 0 π _ 2 sin 2 (x)dx = ∫ 0 π _ 2 [1 – cos2 (x)]dx = ∫ 0 π _ 2 1dx – ∫ 0 π _ 2 cos 2 (x) dx = =x –∫ 0 π _ 2 cos 2 (x)dx = π _ 2 – ∫ 0 π _ 2 cos 2 (x) dx Aus der Gleichung ∫ 0 π _ 2 cos 2 (x)dx = π _ 2 – ∫ 0 π _ 2 cos 2 (x) dx folgt: ∫ 0 π _ 2 cos 2 (x)dx = π _ 4 B 3.14 Berechne: a) ∫ 0 π x · cos x dx b) ∫ 0 1 x·ex dx c) ∫ 1 3 x 2 · ln x dx d) ∫ 1 e lnxdx[ = ∫ 1 e 1·lnxdx ] 3.15 Ermittle das unbestimmte Integral! a) ∫ ln x _ x dx b) ∫ ln 2 x _ x dx c) ∫ cos x · sin x dx d) ∫ x 2 · e x dx e) ∫ e x · sin x dx 3.16 Der Graph der Funktion f schließt im angegebenen Bereich mit den beiden Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Berechne dessen Inhalt! a) f (x) = (x + 1) · e– x (–1ªxª0) b) f (x) = (x – 1) · e– x (0 ª x ª 1) AUFGABEN L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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