61 KOMPETENZCHECK 3.22 Gegeben ist die Polynomfunktion f: ℝ ¥ ℝ mit f (x) = x2 + x + 1. Ermittle das unbestimmte Integral ∫ f (x) dx und wähle aus der zugehörigen Funktionenschar die Funktion g mit g (0) = 1 aus! Ermittle anschließend das unbestimmte Integral ∫ g (x) dx und wähle aus der zugehörigen Funktionenschar die Funktion h mit h (0) = 1 aus! Gib Termdarstellungen der Funktionen g und h an! 3.23 F ist eine Stammfunktion von f. Man kennt F (1) = 7 und ∫ 1 2 f (x) dx = 11. Berechne F (2)! 3.24 Gib für die unten dargestellte Funktion f eine Termdarstellung der Integralfunktion I 2: x ¦ ∫ 2 x f (t) dt an! Berechne damit I2 (5), veranschauliche I2 (5) in der Abbildung und kontrolliere den Wert von I2 (5) anhand einer geeigneten Flächenberechnung! a) 2 4 6 2 4 f 6 0 f(x) x b) 2 4 6 2 4 6 f 6 0 f(x) x c) 2 4 6 2 4 6 f 0 f(x) x 3.25 Gegeben ist die Funktion f mit f (x) = 3 x 2 _ 2 + 1. 1) Ermittle einen Funktionsterm der Integralfunktion I– 1 mit I– 1 (x) = ∫ – 1 x f (t) dt! 2) Bestimme I– 1 (1) und I– 1 (– 2) ! 3) Zeige, dass die Integralfunktion I– 1 streng monoton steigend in ℝ ist! 3.26 Die Funktion v mit v (t) = 25 · (1 – e – t _ 4 ) beschreibt modellhaft die Geschwindigkeit eines Autos beim Beschleunigen aus dem Stand (t in Sekunden, v (t) in Meter pro Sekunde). 1) Ermittle einen Funktionsterm der Integralfunktion I 0 von v bezüglich 0! 2) Veranschauliche I0 (10) in der Abbildung! 3) Berechne, wie weit das Auto innerhalb der ersten zehn Sekunden gefahren ist! 3.27 Ermittle ∫ f (x) dx und gib anschließend eine Termdarstellung jener Stammfunktion F von f an, die an der Stelle 0 den Wert a annimmt! a) f (x) = 1 _ 2 x 2, a = 6 c) f (x) = e– x, a = 0 e) f (x) = e– x, a = 2 b) f(x) = sin(2x), a = 1 d) f (x) = e– 2 x, a = 0 f) f (x) = 2x, a = 1 _ ln (2) 3.28 Gib eine Funktion f: x ¦ f (x) an, für die gilt: a) ∫ f(x)dx = x + c c) ∫ f (x) dx = cos (x) + c e) ∫ f (x) dx = 1 _ 2 · e 2 x + c b) ∫ f(x) dx = x3 + c d) ∫ f (x) dx = – sin (x) + c f) ∫ f (x) dx = 2 · e– x + c t in s v 123456789101112 10 15 5 20 25 30 O v(t) in m/s Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MTA2NTcyMQ==