63 4.1 Diskrete und stetige Zufallsvariablen Für eine diskrete Zufallsvariable X mit den endlich vielen möglichen Werten a1, a 2, ⋯, a k bzw. den abzählbar unendlich vielen möglichen Werte a1, a 2, a 3, ⋯, die mit den Wahrscheinlichkeiten p 1, p 2, ⋯, p k bzw. p 1, p 2, p 3, ⋯ angenommen werden, definiert man: • Erwartungswert von X: μ = E (X) = a 1 p 1 + a 2 p 2 + ⋯ + a n p k bzw. μ = E (X) = a 1 p 1 + a 2 p 2 + ⋯ • Varianz von X: σ 2 = V (X) = (a 1 – μ) 2 p 1 + (a 2 – μ) 2 p 2 + ⋯ + (a k – μ) 2 p k bzw. σ 2 = V (X) = (a 1 – μ) 2 p 1 + (a 2 – μ) 2 p 2 + ⋯ • Standardabweichung von X: σ = � _ V (X) BEMERKUNG Ohne Technologieeinsatz berechnet man die Varianz σ 2 einfacher mithilfe des sogenannten Verschiebungssatzes auf folgende Weise: σ 2 = a 1 2 p 1 + a 2 2 p 2 + ⋯ + a k 2 p k – μ 2 bzw. σ 2 = a 1 2 p 1 + a 2 2 p 2 + ⋯ – μ 2 Den Erwartungswert μ und die Varianz σ 2 einer Zufallsvariablen X kann man auf folgende Art interpretieren: μ ist näherungsweise gleich dem Mittelwert ‾x und σ 2 ist näherungsweise gleich der empirischen Varianzs 2 der erhaltenen Werte von X bei häufiger Wiederholung des zugehörigen Zufallsversuchs. 4.01 Zwei Würfel werden geworfen. Die Variable X gibt die Augensumme der beiden Würfel an. Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsfunktion P ist durch die nachfolgende Tabelle gegeben. 1) Ergänze in der folgenden Tabelle die Werte der Verteilungsfunktion F von X! 2) Stelle die Funktionen P und F durch Stabdiagramme dar! Wert a i von X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P (a i) 1 _ 36 2 _ 36 3 _ 36 4 _ 36 5 _ 36 6 _ 36 5 _ 36 4 _ 36 3 _ 36 2 _ 36 1 _ 36 F (a i) 4.02 Das Marktforschungsinstitut Ultra schätzt, dass nur 10 % der Anrufe bei Telefonumfragen ein Erfolg sind, dh. zu einem Interview führen. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der Anrufe an, die nötig sind, bis erstmalig ein Interview zustande kommt. 1) Gib die Menge der prinzipiell möglichen Werte von X an! Begründe, dass X diskret ist! 2) Gib eine Termdarstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion P von X an! 3) Zeige: F (k) = 1 – 0,9k ist eine Termdarstellung der Verteilungsfunktion F von X. HINWEIS Gehe vom Ereignis „Die ersten k Anrufe sind nicht erfolgreich.“ aus! 4) Berechne F (5) und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang! 4.03 Berechne zur Variablen X des angegebenen Zufallsversuchs den Erwartungswert E (X), die Varianz V (X) und die Standardabweichung! Interpretiere diese Ergebnisse! a) X = Augenzahl beim Wurf eines Würfels b) X = Augensumme beim Wurf zweier Würfel AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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