64 4 DIE NORMALVERTEILUNG Stetige Zufallsvariablen R Es gibt auch Zufallsvariablen, die unendlich viele, nicht abzählbare Werte annehmen können, zB alle Zahlen in einem Intervall (das im Extremfall auch ganz ℝ sein kann). Solche Zufallsvariablen bezeichnet man als stetige Zufallsvariablen. Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten für stetige Zufallsvariablen? 4.04 Bei der Produktion von Nägeln mit der Soll-Länge 100 mm treten produktionsbedingte Schwankungen der Nagellänge X auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig der Produktion entnommener Nagel genau 101,00mm lang ist? LÖSUNG X kann prinzipiell jede reelle Zahl aus einem geeigneten Intervall als Wert annehmen. Dass der entnommene Nagel exakt 101,00 mm misst, ist zwar möglich, aber doch so unwahrscheinlich, dass man P (X = 101,00) = 0setzt. In Aufgabe 4.04 ist X eine stetige Zufallsvariable. Daher sind Wahrscheinlichkeiten von „Punktereignissen X = x “ stets null. Anders ist die Situation, wenn man nach der Wahrscheinlichkeit eines „Intervallereignisses“ fragt, dass zB die Nagellänge X höchstens 101 mm beträgt. Wie kann man P (X ª 101) ermitteln? Man zieht dazu eine Stichprobe von produzierten Nägeln, misst jeweils die Nagellänge X, legt eine Klasseneinteilung für X fest und bestimmt die relative Häufigkeitsverteilung, die man als Histogramm darstellt. Dabei entsprechen die Flächeninhalte der gezeichneten Rechtecke den relativen Häufigkeiten (Abb. 4.1 a). Der Inhalt der grünen Fläche ist ein Näherungswert für P (X ª 101). Zieht man nun immer größere Stichproben und verfeinert fortlaufend die Klasseneinteilung für X, dann werden die Rechtecke im Histogramm immer schmäler (Abb. 4.1 b), bis die Rechtecksoberseiten im „Grenzfall“ den Graphen einer Funktion f bilden (Abb. 4.1 c). Der Inhalt der grünen Fläche unter dem Graphen von f gibt dann die Wahrscheinlichkeit P (X ª 101) an. 96 97 98 99 100 101 102 103 104 Nagellänge 96 97 98 99 100 101 102 103 104 Nagellänge 96 97 98 99 100 101 102 103 104 Nagellänge f Abb. 4.1 a Abb. 4.1 b Abb. 4.1 c Für die stetige Zufallsvariable X haben wir eine Wahrscheinlichkeit als Inhalt einer Fläche unter dem Graphen einer passenden Funktion f ermittelt. Wir definieren daher allgemein: Definition Sei X eine stetige Zufallsvariable und f eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: (1) f (x) º 0 für alle x * ℝ (2) ∫ – • • f (x) dx = 1 (3) P (X ª x) = ∫ – • x f (t) dt für alle x * ℝ • Die Funktion f heißt Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz Dichtefunktion von X. • Die Funktion F: x ¦ P (X ª x) heißt Verteilungsfunktion von X. x P (X ª x) = F (x) f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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