65 4.1 Diskrete und stetige Zufallsvariablen Man sagt: Durch die Dichtefunktion f (oder die Verteilungsfunktion F) wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen beschrieben. BEACHTE • Die Funktionswerte einer Dichtefunktion f geben keine Wahrscheinlichkeiten an. Aber: Bei bekannter Dichtefunktion f kann man Wahrscheinlichkeiten mithilfe der Integralrechnung als Inhalte von Flächen unter dem Graphen von f ermitteln. • Wegen Eigenschaft (2) gilt: Inhalt der Gesamtfläche unter dem Graphen von f = = P (– • < X < •) = 1.Dass X irgendeine reelle Zahl als Wert annimmt, ist somit sicher. 4.05 Sei X eine stetige Zufallsvariable und a * R. a) Begründe anhand der nebenstehenden Skizze: P (X = a) = 0 b) Begründe mit der Additionsregel: P (X ª a) = P(X < a) LÖSUNG a) P (X = a) ist gleich dem Inhalt einer zu einer Strecke entarteten Fläche unter dem Graphen von f, daher gilt: P (X = a) = 0 b) P (X ª a) = P (X < a) + P (X = a) = P (X < a) +0=P(X<a) Analog zu Aufgabe 4.05 b) kann man begründen: P (X º a) = P(X > a) und P (a ª X ª b) = P (a < X ª b) = P (a ª X < b) = P (a < X < b) Wir fassen diese Besonderheiten von stetigen Zufallsvariablen zusammen: • „Punktereignisse“ haben die Wahrscheinlichkeit 0, obwohl sie eintreten können. • Wahrscheinlichkeiten zu abgeschlossenen, halboffenen und offenen Intervallen mit denselben Intervallgrenzen sind gleich groß. Wahrscheinlichkeiten in Intervallen mithilfe der Verteilungsfunktion F berechnen: a F (a) f a 1 – F (a) f b F(b) – F (a) f a P (X ª a) = F (a) = ∫ – • a f (x) dx P (X º a) = 1 – F(a) = 1 – ∫ – • a f (x) dx P(aªXªb)= F (b) – F (a) = ∫ a b f (x) dx Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung von stetigen Zufallsvariablen sind analog zu den jeweiligen Begriffen bei diskreten Zufallsvariablen definiert. Dabei werden aus Summen Integrale, aus ai wird xund aus pi wird f (x) dx. Definition • Erwartungswert von X: μ =E(X)=∫ – • • x · f (x) dx • Varianz von X: σ 2 = V (X) = ∫ – • • (x – μ) 2 · f (x) dx • Standardabweichung von X: σ = � ____ V (X) 4.06 Drücke die folgende Wahrscheinlichkeit mithilfe der Verteilungsfunktion F der stetigen Zufallsvariablen X aus! 1) P (X < x), 2) P (X > x), 3) P (a < X ª b) mit a < b, 4) P (X < a ∨ X > b) mit a < b a F (a) f AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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