66 4 DIE NORMALVERTEILUNG 4.2 Normalverteilte Zufallsvariablen Die Gauß’sche Glockenkurve R Viele Zufallsvariablen in naturwissenschaftlichen, technischen und ökonomischen Anwendungen haben eine Dichtefunktion, deren Graph eine glockenförmige Kurve ist. Nebenstehend ist zB die Verteilung der Durchmesser von produzierten Stahlstiften dargestellt. Weitere Beispiele für so verteilte Zufallsvariablen: Körpergrößen, Intelligenzquotienten, Messergebnisse, Fertigungsmaße etc. Verteilungen, bei denen der Graph der Dichtefunktion glockenförmig ist, kommen also häufig vor, weshalb man solche Verteilungen als „Normalverteilungen“ bezeichnet. Ausgehend von theoretischen Überlegungen konnte Carl Friedrich Gauß (1777‒1855) für die Dichtefunktion einer solchen Verteilung eine passende Termdarstellung angeben. Damit ist folgende Definition möglich: Definition Besitzt eine Zufallsvariable X die Dichtefunktion f mit f (x) = 1 _ σ � _ 2 π · e – 1 _ 2 ( x – μ _ σ ) 2 und σ > 0, dann bezeichnet man die dadurch festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung als Normalverteilung mit den Parametern μ und σ. Die Zufallsvariable X nennt man normalverteilt mit den Parametern μ und σ. Der Graph von f heißt Gauß´sche Glockenkurve mit den Parametern μ und σ. Die Dichtefunktion f einer Normalverteilung hängt von den zwei Parametern μ und σ ab. Die Bezeichnungen der Parameter wurden mit Absicht gewählt. Man kann nämlich unter Verwendung der Definition auf Seite 65 beweisen: • μ ist der Erwartungswert von X, • σ ist die Standardabweichung von X. Anhand von Abb. 4.2 erkennt man, welche Rolle die Werte von μ und σ für die Form des Graphen der Dichtefunktion f spielen (Beweise in Aufgabe 4.07): Bedeutung der Parameter μ und σ für den Graphen der Dichtefunktion f • μ ist die einzige globale Maximumstelle von f. μ gibt die Stelle des „Gipfels“ der zugehörigen Glockenkurve an. • μ – σ und μ + σ sind die beiden Wendestellen von f. σ gibt die „Breite“ der zugehörigen Glockenkurve an. • Je kleiner σ ist, desto „schmäler“ ist die Glockenkurve und desto höher ist ihr „Gipfel“. Vergleiche die Glockenkurven in der nebenstehenden Abbildung! 3,00 3,04 3,08 Durchmesser (in mm) 2,96 2,92 μ μ – σ μ + σ x f W1 W 2 H Abb. 4.2 Ó Applet qn2m4h x σ = 1 σ = 0,5 σ = 2 μ = 0 μ = 4 μ = 7 10 12 –2 2 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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