67 4.2 Normalverteilte Zufallsvariablen Zur Dichtefunktion f einer normalverteilten Zufallsvariablen X mit den Parametern μ und σ gehört die Verteilungsfunktion F mit F (x) = ∫ – • x 1 _ σ � _ 2 π · e – 1 _ 2 ( t – μ _ σ ) 2 dt. Wahrscheinlichkeiten für „Intervallereignisse“ von X ermittelt man mithilfe der Verteilungsfunktion F, zB P (X ª a) = ∫ – • a f (x) dx = F(a).(siehe Abschnitt 4.1) Solche Wahrscheinlichkeiten kann man durch die Inhalte von Flächen unter der passenden Gauß´schen Glockenkurve veranschaulichen. Die konkrete Berechnung von Werten der Verteilungsfunktion F erfolgt durch Technologieeinsatz (F besitzt nämlich keine einfache Termdarstellung). 4.07 Zeige (wenn nötig mittels Differentialrechnung), dass für die Dichtefunktion f einer Normalverteilung der Zufallsvariablen X mit den Parametern μ und σ gilt: a) Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich der Geraden x = μ. b) Die x-Achse ist waagrechte Asymptote des Graphen von f, dh. lim x¥ ± • f(x) = 0. c) μ ist die globale Maximumstelle von f mit dem Hochpunkt H = (μ | 1 _ σ � _ 2 π ); dabei ist f in (– •; μ ] streng monoton steigend und in [ μ; •) streng monoton fallend. d) W 1,2 = (μ ± σ | 1 _ σ � _ 2 π e ) sind die beiden Wendepunkte von f; dabei ist f in (– •; μ – σ ] und [ μ + σ; •) linksgekrümmt und in [ μ – σ; μ + σ ] rechtsgekrümmt. 4.08 Skizziere die Gauß´sche Glockenkurve mit den gegebenen Parametern und überprüfe durch Technologieeinsatz! a) μ = 5und σ = 3, b) μ = –1und σ = 0,5 4.09 Gegeben ist nebenstehend der Graph der Dichtefunktion f der normalverteilten Zufallsvariablen X. 1) Gib die Werte von μ und σ sowie eine Termdarstellung von f an! 2) Drücke die Wahrscheinlichkeiten P (X < 0, 5), P (X º 1,3) und P (0,7 < X < 1) mithilfe der Verteilungsfunktion F aus und veranschauliche diese Wahrscheinlichkeiten in der Grafik! 4.10 f ist die Dichtefunktion einer Normalverteilung mit den Parametern μ und σ. Beschreibe, wie sich der Graph von f verändert, wenn 1) μ verkleinert wird, 2) σ vergrößert wird! 4.11 Drei Experten geben für die normalverteilte Zufallsvariable X durch Schätzung der Parameter die drei Dichtefunktionen f 1 (mit μ 1, σ 1), f 2 (mit μ 2, σ 2 )und f3 (mit μ 3, σ 3) an, die nebenstehend dargestellt sind. Ordne die Funktionsnamen f 1, f 2 und f 3 1) nach steigenden Werten der Erwartungswerte, 2) nach fallenden Werten der Standardabweichungen! x f P(X ≤ a) = F(a) a AUFGABEN R x H W f O f(x) 0,4 0,8 1,2 1,6 2 2,4 2,8 0,4 0,8 1,2 x f1 f3 f2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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