68 4 DIE NORMALVERTEILUNG Die Standardnormalverteilung L Für die Normalverteilung mit den Parametern μ = 0 und σ = 1sind besondere Bezeichnungen üblich. Definition Sei Z eine normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern μ = 0 und σ = 1. • D ann sind folgende Sprechweisen üblich: „Z ist standardnormalverteilt“ und „Für Z liegt eine Standardnormalverteilung vor.“ • D ie Dichtefunktion von Z bezeichnet man mit φ,wobei gilt: φ (z) = 1 _ � 2 π · e – z 2 _ 2 • Die zugehörige Verteilungsfunktion von Z bezeichnet man mit Φ, wobei gilt: Φ (z) = P (Z ª z) = ∫ – • z φ (t) dt Die Standardnormalverteilung zeichnet sich dadurch aus, dass man jede beliebige Normalverteilung mit den Parametern μ und σ durch eine geeignete Variablentransformation (die sogenannte Standardisierung) auf die Standardnormalverteilung zurückführen kann. Geht man nämlich von einer normalverteilten Zufallsvariablen X mit den Parametern μ und σ und der Verteilungsfunktion F aus und definiert zu X eine neue Zufallsvariable Z = X – μ _ σ , dann kann man folgern: 1) Die z-Skala misst Abstände der Zufallsvariablen X von μ in σ-Einheiten. ZB entsprechen den x-Werten μ – 2 σ, μ – σ, μ, μ + 3 σ die z-Werte – 2, – 1, 0, 3. 2) Z ist standardnormalverteilt. 3) P (X ª x) = F (x) = Φ (z), falls z = x – μ _ σ , also z der transformierte Wert von x ist. x f O f(x) F(x) 0,2 0,4 1 –1 –2 x 3 x – μ _ σ = z ⎯ → ← ⎯⎯ x = μ + z · σ z O φ(z) Φ(z) φ 0,4 1 –1 –3 –2 z 2 Wahrscheinlichkeiten zu beliebigen normalverteilten Zufallsvariablen kann man mit Technologieeinsatz berechnen, wie zB auf Seite 79 beschrieben. Ohne Technologieeinsatz ist es aufgrund von 3) möglich, Wahrscheinlichkeiten zu beliebigen normalverteilten Zufallsvariablen nach Transformation der Intervallgrenzen mithilfe der Standardnormalverteilungsfunktion Φ zu ermitteln. Weil Φ aber keine einfache Termdarstellung besitzt, muss dann Φ zB in Tabellenform vorliegen. BEISPIEL X ist normalverteilt mit μ = 1 und σ = 2. Ermittle P (X ª 2)! P (X ª 2) = F (2) = Φ ( 2 – μ _ σ ) = Φ (0, 5) ≈ 0,6915. Diesen Wert kann man aus einer eventuell vorliegenden Φ-Tabelle ablesen, falls keine Technologie vorhanden ist. Die Bedeutung der Standardnormalverteilung liegt wegen der allgemeinen Verfügbarkeit von Technologie heute nicht mehr im Ermitteln von Wahrscheinlichkeiten, sondern in der Darstellung theoretischer Zusammenhänge. z H O W1 W2 φ(z) Φ(z) φ 1 –1 –4 –3 –2 z 2 3 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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