69 4.2 Normalverteilte Zufallsvariablen Die σ-Regeln R Ist X eine normalverteilte Zufallsvariable, dann kann man auch ohne umfangreiche Berechnungen mithilfe der folgenden σ-Regeln abschätzen, wie „stark“ X variiert. Satz (σ-Regeln) Ist X eine normalverteilte Zufallsvariable mit den Parametern μ und σ, dann gilt: P (μ – σ ª X ª μ + σ) ≈ 68,3 % P (μ – 2 σ ª X ª μ + 2 σ) ≈ 95,4 % P (μ – 3 σ ª X ª μ + 3 σ) ≈ 99,7 % ca. 68,3 % x μ μ + σ μ – σ ca. 95,4 % x μ μ + 2σ μ – 2σ ca. 99,7 % x μ μ + 3σ μ – 3σ BEWEIS Ist F die Verteilungsfunktion von X, dann erhält man zB mit Technologie: P (μ – σ ª X ª μ + σ) = F (μ + σ) – F (μ – σ) = Φ (1) – Φ (– 1) ≈ 0,683 P (μ – 2 σ ª X ª μ + 2 σ) = F (μ + 2 σ) – F (μ – 2 σ) = Φ (2) – Φ (– 2) ≈ 0,954 P (μ – 3 σ ª X ª μ + 3 σ) = F (μ + 3 σ) – F (μ – 3 σ) = Φ (3) – Φ (– 3) ≈ 0,997 Interpretation der σ-Regeln: Bestimmt man den Wert der normalverteilten Zufallsvariablen X durch einen Zufallsversuch sehr oft, dann weichen von den erhaltenen Werten ca. 68,3% um höchstens ein σ, ca. 95,4 % um höchstens zwei σ und ca. 99,7% um höchstens drei σ von μ ab. 4.12 X ist normalverteilt mit μ = 20und σ = 5. Gib näherungsweise die Wahrscheinlichkeit a) P (15 ª X ª 25), b) P (10 < X < 30), c) P (X º 30), d) P (X < 5 ∨ X > 35) an! 4.13 Die Zufallsvariable L ist normalverteilt mit den Parametern μ = 50und σ = 2. Kreuze die beiden Aussagen an, die auf L zutreffen! L liegt mit mehr als 95 %-iger Wahrscheinlichkeit zwischen 48 und 52. P (L ª 44) < 0,02 Die Wahrscheinlichkeit, dass L außerhalb von [ 46; 54 ] liegt, ist kleiner als 4 %. P (44 ª L ª 56) º 0,99 Die Wahrscheinlichkeit, dass L um maximal 4 von 50 abweicht, ist höchstens 0,9. 4.14 Die Masse M eines Produkts ist normalverteilt mit μ = 1 000 gund σ = 50 g. Gib an: a) ein symmetrisches Intervall um μ, in dem M mit ca. 95,4 %-iger Wahrscheinlichkeit liegt, b) welche Abweichungen von μ mit weniger als 3 ‰ Wahrscheinlichkeit auftreten. 4.15 X ist eine normalverteilte Variable mit den Parametern μ und σ. Begründe: Es ist „fast ausgeschlossen“, dass X um mehr 4 σ von μ abweicht. Ó Applet qn5s28 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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