7 1.1 Stammfunktionen 1.02 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f: R ¥ R mit f (x) = x2! Ist diese eindeutig bestimmt? Deute das Ergebnis geometrisch! LÖSUNG Man kann durch Differenzieren überprüfen, dass die folgenden Funktionen die Funktion f als Ableitung haben: F 0 (x) = x3 _ 3 F 1 (x) = x3 _ 3 + 1 F 2 (x) = x3 _ 3 + 2 F 3 (x) = x3 _ 3 + 3 usw. Allgemein hat jede Funktion der folgenden Form die Funktion f als Ableitung: F(x) = x 3 _ 3 +c mitc * R Man kann dies folgendermaßen geometrisch interpretieren: Die Graphen dieser Funktionen gehen durch Verschiebungen in Richtung der 2. Achse auseinander hervor (siehe voranstehende Abbildung). Sie haben somit an jeder Stelle x * R die gleiche Steigung. Also stimmen auch ihre Ableitungen an jeder Stelle x miteinander überein. Ist F 0: A ¥ ℝ eine Stammfunktion von f, dann ist auch jede Funktion F mit F (x) = F 0 (x) + c eine Stammfunktion von f, denn es ist F’ (x) = F0 ’ (x) = f (x) für alle x * A. Es stellt sich aber die Frage: Sind alle Stammfunktionen von f von dieser Form? Um diese Frage zu beantworten, beweisen wir zuerst den folgenden Satz. Satz Ist I ein Intervall und f’ (x) = 0 für alle x * I, dann ist f konstant in I. BEWEIS Ist f’ (x) = 0 für alle x * I, dann gilt sowohl f’ (x) º 0 als auch f’ (x) ª 0 für alle x * I. Somit ist f in I sowohl monoton steigend als auch monoton fallend. Das ist nur möglich, wenn f in I konstant ist. Nun können wir zeigen: Satz Ist die reelle Funktion f in einem Intervall I definiert und F 0 eine Stammfunktion von f, dann sind alle Stammfunktionen von f von der Form F (x) = F 0 (x) + c mit c * ℝ. BEWEIS Sei F eine beliebige Stammfunktion von f. Wir betrachten die Funktion G mit G (x) = F (x) – F 0 (x). Wegen G’(x) = F’(x) – F0 ’ (x) = f (x) – f (x) = 0 gilt nach dem vorausgehenden Satz G (x) = F (x) – F 0 (x) = c mit c * ℝ und somit F (x) = F 0 (x) + c für alle x * I. Im letzten Satz ist die Voraussetzung, dass I ein Intervall ist, wesentlich. Ist der Definitionsbereich von f kein Intervall, dann muss nicht jede Stammfunktion von f von der Form F (x) = F 0 (x) + c sein, wie das folgende Beispiel zeigt. 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 F (x) x F 3 F 2 F 1 F 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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