73 4.3 Grundaufgaben zur Normalverteilung Ermitteln eines Intervalls mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit R Bisher haben wir zu vorgegebenen Intervallereignissen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ermittelt. Im Folgenden gehen wir umgekehrt vor: Wir geben eine Wahrscheinlichkeit p vor und suchen ein Intervall, in dem die betrachtete Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeit p liegt. 4.36 Die MetallAG produziert Metallstifte, deren Länge X annähernd normalverteilt mit μ = 3,5 cm und σ = 0,4 cm ist. Ermittle näherungsweise, welche Länge a) die kürzesten 20 % aller erzeugten Metallstifte höchstens erreichen, b) die längsten 35 % aller erzeugten Metallstifte mindestens erreichen! LÖSUNG a) B estimme aso, dass: P (X ª a) = 0,20 Mit Technologie (siehe Seite 79) erhält man: a ≈ 3,16 cm b) B estimme bso, dass: P (X º b) = 0,35 Mit Technologie (siehe Seite 79) erhält man: b ≈ 3,65 cm BEMERKUNG Für a und b in Aufgabe 4.36 sind auch folgende Bezeichnungen üblich: a ist das 0,20-Quantil von X, weil P (X ª a) = 0,20 gilt. b ist das 0,65-Quantil von X, denn aus P (X º b) = 0,35folgt P (X ª b) = 0,65. 4.37 X ist normalverteilt mit μ = 25und σ = 3,8. Ermittle x näherungsweise so, dass gilt: a) P (X ª x) = 0,25 b) P (X < x) = 0,9 c) P (X º x) = 0,20 d) P (X > x) = 0,68 4.38 Die Körpergröße der Schüler einer Mittelschule ist annähernd normalverteilt mit μ = 158 und σ = 4 (Angaben in cm). 1) Ermittle den Prozentsatz der Schüler, die mindestens 170 cm groß sind! 2) Ermittle, welche Körpergröße die kleinsten 5 % der Schüler höchstens erreichen und welche Körpergröße die größten 5 % der Schüler mindestens aufweisen! 4.39 Firma KofferExpress nimmt nur Gepäckstücke bis maximal 20 kg zum Transport an. Man weiß: Die Masse der abgegebenen Gepäckstücke ist annähernd normalverteilt mit μ = 17kg und σ = 2 kg. 1) Ermittle, wie viel Prozent der abgegebenen Gepäckstücke die Firma voraussichtlich abweisen muss! 2) Gib an, welche maximale Masse pro Gepäckstück die Firma tolerieren müsste, damit nur 1 % der abgegebenen Gepäckstücke abzuweisen sind! 4.40 PharmaZeut erzeugt auf den zwei Maschinen M1 und M2 Multivitamin-Kapseln, wobei der Kapselinhalt jeweils annähernd normalverteilt ist. M1 arbeitet mit μ 1 = 1,80und σ 1 = 0,05. Für M2 ist μ 2 = 1,85und σ 2 = σ 1 (Angaben in cg). 1) Ermittle für die Produktion von M1, welchen Inhalt die am besten befüllten 5 % der produzierten Kapseln mindestens erreichen! 2) Gib an, wie viel Prozent der von M2 produzierten Kapseln mindestens den in 1) errechneten Inhalt aufweisen! x 20% a=? b=? 35% f 3 2 4 5 AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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