74 4 DIE NORMALVERTEILUNG Ermitteln eines symmetrischen Intervalls um μ mit geg. Wahrscheinlichkeit R 4.41 Die MetallAG erzeugt auch Stahlkugeln für Kugellager. Der Kugeldurchmesser D ist dabei annähernd normalverteilt mit μ = 4 und σ = 0,2 (Angaben in mm). Ermittle ein symmetrisches Intervall um μ, in dem 80 % der Durchmesser aller produzierten Kugeln liegen! LÖSUNG Gesucht ist c * R + so, dass P (4 – c ª D ª 4 + c) = 0,80. Mit Technologieeinsatz (siehe zB Seite 79) erhält man: c ≈ 0,26 mm Somit liegen ca. 80 % der Kugeldurchmesser im Intervall [ 3,74; 4,26 ]. BEMERKUNG D as bezüglich μ symmetrische Intervall [ 3,74; 4,26 ] in Aufgabe 4.41 bezeichnet man auch als 80 %-Streubereich oder 0,80-Streubereich für D. 4.42 Die Zufallsvariable X ist normalverteilt mit μ = 25und σ = 3,8. Ermittle c * R + näherungsweise so, dass gilt: a) P (25 – c ª X ª 25 + c) = 0,90 c) P (| X – 25 | ª c) = 0,30 b) P (25 – c < X < 25 + c) = 0,45 d) P (| X – 25 | < c) = 0,55 4.43 Die Flügellänge F einer Insektenart ist annähernd normalverteilt mit μ = 5,0 und σ = 1,1 (Angaben in mm). 1) Ermittle die kleinste Flügellänge, die von 75 % dieser Insekten erreicht oder überschritten wird! 2) Ermittle ein symmetrisches Intervall um μ, in dem die Flügellänge F eines solchen Insekts mit der Wahrscheinlichkeit 0,90 liegt! 4.44 Eine Metallhobelmaschine erzeugt Metallplatten, deren Dicke annähernd normalverteilt mit μ = 10 mm und σ = 0,02 mm ist. Platten, deren Dicke nicht im Toleranzbereich von 9,95 mm bis 10,05 mm liegt, gelten als Ausschuss. 1) Ermittle, wie viel Prozent Ausschuss zu erwarten sind! 2) Gib an, wie viel Prozent der erzeugten Plattendicken die untere Toleranzgrenze unterschreiten und wie viel Prozent die obere Toleranzgrenze überschreiten! 3) Ermittle, wie man die Toleranzgrenzen μ – c und μ + c wählen müsste, damit 95% der Plattendicken im Toleranzbereich [ μ – c; μ + c ] liegen! 4.45 Auf dem Bio-Hof Hühnerglück legen Hennen täglich ca. 1 500 Eier, deren Masse X annähernd normalverteilt mit μ = 55 und σ = 5 ist (Angaben in g). Hühnerglück teilt Eier in drei Klassen ein: Eier unter 49 g fallen in die Klasse S (small), Eier über 61 g in die Klasse L (large), alle anderen Eier fallen in die Klasse M (medium). 1) Gib an, ungefähr wie viele Eier einer Tagesproduktion von Hühnerglück auf die Klasse M entfallen! 2) Bestimme neue Schranken μ – c und μ + c für die Klasse M so, dass ca. 750 Eier der Tagesproduktion in die Klasse M fallen! 4 – c 4 4 + c D(mm) 80% AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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