75 4.3 Grundaufgaben zur Normalverteilung Ermitteln von µ bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit R 4.46 Eine Maschine soll Flaschen mit 0,75 ø Weinessig befüllen. Produktionsbedingt ist der tatsächlich abgefüllte Flascheninhalt F annähernd normalverteilt mit σ = 0,01 ø. Um Beschwerden wegen zu kleinen Inhalts möglichst zu vermeiden, sollen pro Flasche im Mittel etwas mehr als 0,75 ø abgefüllt werden. Ermittle, wie viel Liter pro Flasche im Mittel abgefüllt werden müssen, damit nur 2 % aller Flaschen weniger als 0,75 ø enthalten! LÖSUNG Bei dieser Maschine ist der abgefüllte Flascheninhalt F annähernd normalverteilt mit σ = 0,01 ø und dem Erwartungswert μ von F. Dabei entspricht μ dem mittleren Flascheninhalt bei der Produktion. Gesucht ist μ so, dass gilt: P (F < 0,75) = P (F ª 0,75) = 0,02 Mit Technologieeinsatz (siehe zB Seite 79) erhält man: μ ≈ 0,77 ø Man muss also die Maschine auf den Sollwert 0,77ø (= mittlerer Flascheninhalt) einstellen, damit nur bei 2 % der Flaschen der Inhalt F kleiner als 0,75 ø ist. 4.47 Firma Fruchtgarten füllt Himbeersirup in Flaschen ab, die 0,7ø enthalten sollen. Aufgrund der automatischen Abfüllung schwankt der Flascheninhalt jedoch, wobei man annehmen kann, dass dieser annähernd normalverteilt mit σ = 0,05 ø ist. Ermittle, welchen Erwartungswert μ der Abfüllprozess aufweisen muss, damit nur 1 % der Flaschen weniger als 0,7ø enthalten! 4.48 Auf einer Produktionsanlage verpackt Nuts&Co Erdnüsse in Dosen, die 500 g enthalten sollen. Man kann davon ausgehen, dass der Doseninhalt annähernd normalverteilt mit σ = 2 g ist. Nuts&Co möchte, dass höchstens 5 % der Dosen weniger als 500 g enthalten. Ermittle, mit welchem Erwartungswert μ die Anlage dazu arbeiten muss! 4.49 Der Hersteller der Eterna-Batterien behauptet, dass nur 2 % der produzierten Batterien eine „Lebensdauer“ von 270 Betriebsstunden oder weniger aufweisen. Ermittle die mittlere „Lebensdauer“ von Eterna-Batterien unter der Annahme, dass der Hersteller recht hat und die „Lebensdauer“ von Eterna-Batterien normalverteilt mit σ = 15 h ist! 4.50 Der Hersteller des Tintenrollers LongRun gibt an, dass 97% der produzierten LongRun-Tintenroller eine Schreiblänge von mindestens 2 450 m besitzen. Ermittle die mittlere Schreiblänge eines LongRun-Tintenrollers, wenn man voraussetzt, dass die Angaben des Herstellers zutreffen und die Schreiblänge normalverteilt mit σ = 375 m ist! 4.51 Auf einer Abfüllanlage wird das Waschmittel SuperSauber in Pakete mit der Aufschrift „Füllmenge 500 g“ verpackt. Um Beschwerden wegen zu geringen Inhalts möglichst zu vermeiden, werden die Pakete so befüllt, dass die tatsächliche Füllmenge M annähernd normalverteilt mit μ = 510 g und σ = 5 g ist. Beantworte die folgenden Fragen! 1) Kundenfrage: Wie viel Prozent der Pakete enthalten weniger als 500 g Waschmittel? 2) Produzentenfrage: Mit welchem Erwartungswert μ muss die Anlage (mit σ = 5 g) arbeiten, wenn nur 2 % der Pakete weniger als 500 g Waschmittel enthalten sollen? 0,75 μ = ? 2 % F (Liter) AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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