77 4.4 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 4.4 Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Wiederholung: Binomialverteilung R Wir wiederholen einige wichtige Eigenschaften der Binomialverteilung: Bei einem Zufallsversuch tritt ein Ereignis E (= „Erfolg“) mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Der Versuch wird n-mal unter gleichen Bedingungen wiederholt. Die Zufallsvariable H zählt die Anzahl der eingetretenen Erfolge E in der Versuchsserie. • Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit, dass bei n Versuchen genau k Erfolge eintreten: P (H = k) = ( n k ) · p k · (1 – p) n – k (für 0 ª k ª n) Die so festgelegte Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen H bezeichnet man als Binomialverteilung mit den Parametern n und p. • Für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p gilt: Erwartungswert μ =n·pund Standardabweichung σ = � _n · p · (1 – p) 4.59 Ein Würfel wird 30-mal geworfen. H zählt die Anzahl der geworfenen Sechser. 1) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass a) genau fünf Sechser, b) mindestens fünf Sechser, c) höchstens fünf Sechser kommen! 2) Berechne μ und σ von H! Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung L 4.60 Daten im Umfang von 2 Gigabit werden bitweise auf ein Speichermedium übertragen. Die Wahrscheinlichkeit für die fehlerhafte Übertragung von einem Bit lautet 0,000 05. Berechne die Wahrscheinlichkeit für höchstens 99 500 fehlerhaft übertragene Bits! LÖSUNG Die Anzahl H der fehlerhaft übertragenen Bits ist binomialverteilt mit n = 2 000 000 000 und p = 0,000 05. Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit gilt daher: P (H ª99 500) = Σ k = 0 99 500 ( 2 000 000 000 k ) · p k · (1 – p) 2 000 000 000 – k P (H ª 99 500)ist nur mit geeigneter Technologieunterstützung berechenbar. Unter günstigen Umständen erhält man: P (H ª 99 500) ≈ 0,057 02 Aufgabe 4.60 führt zur Frage: Kann man Wahrscheinlichkeiten für binomialverteilte Variablen mit großem n eventuell einfacher (unter Umständen nur näherungsweise) berechnen? Im Folgenden sind drei Binomialverteilungen für immer größeres n durch Histogramme dargestellt. Jedes Mal werden dabei über der Zahlengeraden – zentriert um die Variablenwerte k – Rechtecke mit der Breite 1 und der Höhe P (H = k) gezeichnet. Daher entsprechen die Flächeninhalte der Rechtecke den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Zu jeder dieser Binomialverteilungen werden der Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ berechnet und jeweils die Dichtefunktion der Normalverteilung mit den berechneten Parameterwerten μ und σ in die Abbildung rot eingezeichnet. AUFGABEN R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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